Русская Википедия:Бесконечный телескоп
Бесконечный телескоп — трюк в доказательстве, основанный на парадоксальных свойствах бесконечных сумм. В геометрической топологии он был использован Барри Мазуром и часто называется мошенничеством Мазура или телескоп Мазура (см. телескопическая сумма). В алгебре он был введен Сэмюэлем Эйленбергом и известен как мошенничество Эйленберга или телескоп Эйленберга.
Идея основана на следующем шуточном доказательстве того, что 1 = 0:
- 1 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0
Разумеется так рассуждать нельзя, потому как ряд Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + ... не сходится. Однако этот трюк можно использовать для некоторых объектов если подобные бесконечные суммы имеют смысл.
Пример
Типичным применением бесконечного телескопа является доказательство того, что связная сумма <math>A\# B</math> двух нетривиальных узлов <math>A</math> и <math>B</math> нетривиальна. Для узлов можно брать бесконечные суммы, делая узлы все меньше и меньше (при этом обычно получается дикий узел) так что если узел <math>A\# B</math> тривиален, то тоже верно про узел
- <math>A=A\#(B\# A)\#(B\#A)\#\cdots = (A\# B)\# (A\# B)\# \cdots.</math>
Литература
