Русская Википедия:Бинарная операция
Бина́рная, или двуме́стная, опера́ция (от Шаблон:Lang-lat «два») — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть операция с арностью два).
Определение
Пусть <math>A,\;B,\;C</math> — тройка непустых множеств. Бинарной операцией, или бинарной функцией, на паре <math>A,\;B</math> со значениями в <math>C</math> называется отображение <math>P: A\times B \to C</math>.
Пусть <math>A</math> — непустое множество. Бинарной операцией на множестве <math>A</math>, или внутренней бинарной операцией, называют отображение <math>P: A\times A \to A</math>.
Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции.
Также имеется близкое понятие закона композиции, объединяющее внутренние бинарные операции <math>P: A\times A \to A</math> (внутренние законы композиции) с бинарными операциями вида <math>P: A\times B \to A</math> или <math>P: B\times A \to A</math> (внешними законами композиции).
Замечание
Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции <math>\circ</math> результат её применения к двум элементам <math>x</math> и <math>y</math> записывается в виде <math>x\circ y</math>.
При этом, однако, используются другие формы записи бинарных операций, а именно:
- префиксная (польская запись) — <math>\circ\,x\;y</math>;
- постфиксная (обратная польская запись) — <math>x\;y\,\circ</math>.
Типы бинарных операций
Коммутативная операция
Бинарная операция <math>\circ</math> называется коммутативной, только когда её результат не зависит от перестановки операндов, то есть
- <math>x\circ y=y\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.</math>
Ассоциативная операция
Бинарная операция <math>\circ</math> называется ассоциативной, только когда
- <math>(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),\quad\forall x,\;y,\;z\in M.</math>
Для ассоциативной операции <math>\circ</math> результат вычисления <math>x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n</math> не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение <math>x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n</math> при <math>n>2</math> однозначно не определено.
Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативность.
Примеры
Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.
Записи
Мультипликативная запись
Если абстрактную бинарную операцию на <math>M</math> называют умноже́нием, то её результат для элементов <math>x,\;y\in M</math> называют их произведе́нием и обозначают <math>x\cdot y</math> или <math>xy</math>. В этом случае нейтральный элемент <math>e\in M</math>, то есть элемент, удовлетворяющий равенствам
- <math>x\cdot e=e\cdot x=x,\quad\forall x\in M,</math>
называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.
Аддитивная запись
Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов <math>x,\;y\in M</math> называют су́ммой и обозначают <math>x+y</math>. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут
- <math>x+0=0+x= x,\quad\forall x\in M.</math>
Обратная операция
Шаблон:Заготовка раздела Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.
- Теорема 1
Для любой бинарной операции существует не более одного нейтрального элемента, то есть два любых нейтральных элемента на самом деле оказываются совпадающими.
- Теорема 2
Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.
См. также
Литература
- Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.
