Русская Википедия:Биссектриса
Биссектри́са (от Шаблон:Lang-la «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла[1].
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.
Связанные определения
- Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с его стороной, не являющейся стороной этого угла, называется основанием биссектрисы.
- В любом треугольнике <math>ABC</math>, кроме внутренних биссектрис (далее называемых просто биссектрисами), можно провести и внешние биссектрисы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
- Проведение в данном треугольнике всех трёх его внешних биссектрис до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно <math>J_A, J_B, J_C</math>) образует новый треугольник (см. рис.) — треугольник трёх внешних биссектрис. Это — новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами <math>J_A, J_B, J_C</math>, которые касаются соответственно сторон <math>a, b, c</math> исходного треугольника.
- Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
- Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника <math>\Delta J_AJ_BJ_C</math>
- Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей <math>J_A, J_B, J_C</math> , является центром эллипса Мандарта. Эту точку называют по-английски middlespoint, по-немецки — «Mittelpunkt». Она открыта в 1836-ом году Христианом Генрихом фон Нагелем (Christian Heinrich von Nagel).[2][3]
Свойства
Свойства точек пересечения биссектрис
- Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности (инцентре).
- Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
- Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
- Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.
Свойства, связанные с углами
- Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
- Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
- Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.
Свойства, связанные с дугами
- Свойство биссектрисы вписанного угла: биссектриса вписанного угла делит на две равные части дугу, на которую этот угол опирается.
- То же свойство верно и для биссектрисы центрального угла.
Свойства биссектрис равнобедренного треугольника
- Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
- Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
- В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
- Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной внутреннему углу стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
- У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
- У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.
Свойства оснований биссектрис
- Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть <math>\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}</math> или <math>\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}</math>. Теорема о биссектрисе — частный случай теоремы Штейнера.
- Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
- Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
- Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
- Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания трёх биссектрис.
- В общем случае не пересекаются в одной точке 3 перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через основания 3 внутренних его биссектрис, которые лежат на этих сторонах.[4]
Свойства осей биссектрис
- Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
- Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.
Свойство проекции одной вершины на биссектрисы двух других вершин
- Если из двух вершин треугольника провести сразу две пары биссектрис (две внутренние и две внешние), а затем на четыре полученные биссектрисы ортогонально спроектировать третью вершину, тогда полученные четыре точки проекций вершины на биссектрисы будут лежать на одной прямой (коллинеарны)[5]. Эта прямая является средней линией треугольника, параллельной той стороне, концами которой являются упомянутые выше две вершины.
Другие свойства
- Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
- Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
- Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,[6] причём даже при наличии трисектора.[7]
- Три внешние биссектрисы любого треугольника пересекаются в трёх разных точках, которые являются центрами вневписанных окружностей исходного треугольника или вершинами так называемого треугольника трёх внешних биссектрис исходного треугольника[8].
- Три продолжения трёх биссектрис исходного треугольника, через три их основания до их пересечения в трёх вершинах его треугольника трёх внешних биссектрис оказываются в последнем треугольнике в качестве трёх высот.
Тройки отрезков, параллельных трем биссектрисам треугольника
Тройки отрезков, параллельных трем бессектрисам и одновременно пересекающихся в одной точке
- Каждый кливер есть отрезок, один конец которого находится в середине стороны треугольника и который параллелен биссектрисе угла, противоположного этой стороне. Три кливера, подобных описанному выше, пересекаются в центре Шпикера.
- Если проведен отрезок с одним концом в точке касания вписанной окружности треугольника с его стороной в направлении параллельно биссектрисе угла, противоположного этой стороне, а затем для двух других сторон построены аналогичные отрезки, то эти три отрезка пересекаются в одной точке[9].
Тройки отрезков, параллельных трем биссектрисам и одновременно образующих 2 треугольника
- Во всякий треугольник ABC можно вписать 2 треугольника, 3 стороны которых параллельны 3 биссектрисам треугольника ABC. Эти треугольники имеют общую окружность типа окружности Эйлера, то есть 6 их вершин лежат на 1 окружности.[10]
Длина биссектрис в треугольнике
Удобно биссектрисы треугольника обозначать следующим образом. Если <math>ABC</math> ― треугольник, и <math>a = BC</math>, <math>b = AC</math>, <math>c = AB</math> ― стороны (длины сторон), то <math>l_a</math>, <math>l_b</math>, <math>l_c</math> ― биссектрисы, проведённые соответственно из вершин <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> к сторонам <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>.
Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.
- <math>l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}=\dfrac{2 \sqrt{abp(p-c)}}{a+b}</math>, где <math>p</math> — полупериметр.
- <math>l_c = \sqrt{ab-a_lb_l}</math> (формула ЛагранжаШаблон:Нет АИ)
- <math>l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}</math>
- <math>l_c = \dfrac {2a_lb_l\cos\dfrac{\gamma}{2}}\sqrt{a_l^2+b_l^2-2a_lb_l\cos{(\gamma})}</math>
- <math>l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}}</math>
Для трёх биссектрис углов <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> с длинами соответственно <math>l_a, l_b,</math> и <math>l_c</math>, справедлива формула[11]
- <math>\dfrac{(b+c)^2}{bc}l_a^2+ \dfrac{(c+a)^2}{ca}l_b^2+\dfrac{(a+b)^2}{ab}l_c^2 = (a+b+c)^2</math>,
- <math>w_c^2=a_w \cdot b_w-ab=CE^2=BE \cdot AE-ab</math>,
- Инцентр (точка пересечения трёх внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла <math>A</math> в отношении <math>\frac{b+c}{a}</math>,
где:
- <math>a, b, c</math> — стороны треугольника против вершин <math>A, B, C</math> соответственно,
- <math>\alpha, \beta, \gamma</math> — внутренние углы треугольника при вершинах <math>A, B, C</math> соответственно,
- <math>h_c</math> — высота треугольника, опущенная на сторону <math>c</math>.
- <math>l_c</math> — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне <math>c</math>,
- <math>a_l, b_l</math> — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса <math>l_c</math> делит сторону <math>c</math>,
- <math>w_c</math> — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины <math>C</math> к продолжению стороны <math>AB</math>.
- <math>a_w, b_w</math> — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса <math>w_c</math> делит сторону <math>c=AB</math> и её продолжение до основания самой биссектрисы.
- Если медиана <math>m</math>, высота <math>h</math> и внутренняя биссектриса <math>t</math> выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса <math>R</math>, тогда[12]Шаблон:Rp
- <math>4R^2h^2(t^2-h^2)=t^4(m^2-h^2).</math>
Длина частей биссектрис в треугольнике
- Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно <math>l_{c0}=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}= \sqrt{(p-c)^2 + r^2}= \sqrt{ab - 4Rr}</math>, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а γ — угол вершины C.
- Формулы последнего пункта по сути дают длину части биссектрисы от вершины до точки их пересечения (до центра вписанной окружности или до инцентра).
- Эту формулу и формулу для второй части внутренней биссектрисы можно также найти на основе следующего факта:
- Инцентр делит внутреннюю биссектрису угла <math>A</math> в отношении <math>\frac{b+c}{a}</math>, где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> — стороны треугольника.
Уравнения биссектрис
- Если две смежные стороны треугольника записаны уравнениями <math>y_1=a_1x+b_1</math> и <math>y_2=a_2x+b_2</math>, то в явном виде биссектрисы представимы в виде функций[13]:
- <math>y=\frac{a_1\sqrt{a_2^2+1}\pm a_2\sqrt{a_1^2+1}}{\sqrt{a_2^2+1}\pm \sqrt{a_1^2+1}}\, x + \frac{b_1\sqrt{a_2^2+1}\pm b_2\sqrt{a_1^2+1}}{\sqrt{a_2^2+1}\pm \sqrt{a_1^2+1}}</math>
См. также
- Антибиссектриса
- Высота (геометрия)
- Высота треугольника
- Инцентр
- Медиана треугольника
- Симедиана
- Теорема о биссектрисе
- Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
- Треугольник трёх внешних биссектрис
- Центроид
- Чевиана
Примечания
Литература
- ↑ Книга:Математическая энциклопедия
- ↑ Шаблон:Citation.
- ↑ Шаблон:Citation.
- ↑ Книга:Акопян-Заславский
- ↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Шаблон:Wayback. — Одесса, 1902. — С. 6. Глава I, п.8
- ↑ Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам? Шаблон:Wayback. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор Шаблон:Wayback. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
- ↑ Решения заданий первого этапа Всесибирской открытой олимпиады школьников 2015—2016 г. по математике. Задача 10.3, С. 5-6// https://sesc.nsu.ru/upload/iblock/1ad/2015_1_math_s.pdf Шаблон:Wayback
- ↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Шаблон:Wayback. — Одесса, 1902. — С. 26. Глава I. Упражнения. п.33
- ↑ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115—116.
- ↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
- ↑ Шаблон:Cite web