Русская Википедия:Борновское приближение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Борновское приближение в теории рассеяния применяется для вычисления рассеяния квантовых частиц в первом порядке теории возмущений.

Критерием применимости борновского приближения является, соответственно, критерий применимости теории возмущений. Так, для рассеяния частицы массы <math> m \ </math> на потенциале <math> V \ </math> действующем на расстоянии <math> a \ </math>, приближение заведомо применимо, если потенциальная энергия много меньше энергии нулевых колебаний <math> E_0 \ </math>, т.е. <math> V \ll E_0 \sim \hbar^2/m(a)^2 \ </math>. Если же <math> V \ </math> не мало по сравнению с <math> E_0 \ </math>, то приближение становится применимым для достаточно быстрой частицы, для которой характерная частота пребывания в поле потенциала много больше самого потенциала, т.е. когда <math> V \ll \hbar v/a \sim E_0 (a/\lambda) \ </math>, где <math> \lambda \ </math> есть дебройлевская длина волны частицы.

Для дифференциального сечения рассеяния (сечение в элемент телесного угла <math> d \Omega </math>) частицы с изменением импульса <math> \hbar \vec{q} \ </math> в борновском приближении получается:

<math> d\sigma=\frac{\mu^2}{4\pi^2\hbar^4}\left|\int V(\vec{r}) e^{-i\vec{q}\vec{r}}d^3r\right|^2 d \Omega,</math>

где <math>\mu</math> — приведённая масса.

Этот результат проще всего получить из вероятности перехода в непрерывном спектре плоских волн:

<math> w_{p'p}=\frac{2\pi}{\hbar}\left|V_{p'p}\right|^2\delta(E_{p'}-E_p)d\nu_{p'}</math>,

где <math> \nu_{p'} \ </math> есть плотность конечных состояний. Подставляя энергию свободной частицы <math> E_p=p^2/(2m) \ </math> , вычисляя матричный элемент потенциала в базисе плоских волн <math> \psi_{\vec{p}}(\vec{r})=e^{i\vec{p}\vec{r}/\hbar} \ </math> и интегрируя по импульсу рассеянного (конечного) состояния <math> p' \ </math>, мы немедленно приходим к формуле Борна.

Амплитуда рассеяния в борновском приближении действительна и имеет вид:

<math> f = - \frac{m}{2 \pi \hbar^2} \int V(\vec{r}) e^{-i\vec{q}\vec{r}}d^3r.</math>

Таким образом, в борновском приближении амплитуда рассеяния является Фурье-образом рассеивающего потенциала. Действительность амплитуды рассеяния означает малость её аргумента, то есть фазы рассеяния. В борновском приближении фазы рассеяния на центрально симметричном потенциале в состояниях с угловым моментом <math>\hbar \sqrt{l(l+1)} </math>, имеют вид:

<math> \delta_l = - \frac{\pi m}{\hbar} \int V(r)(J_{l + \frac{1}{2}}(q r))^2 r dr,</math>

где <math>J_{l + \frac{1}{2}}(q r)</math> — функция Бесселя.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга