Русская Википедия:Величина (математика)
Шаблон:Значения Математическая величина — одно из основных понятий математики, означающее, нестрого говоря, то, что можно измерить[1]. Более строго, величины — это математические объекты, для которых может быть определено отношение неравенства и операция сложения, а также выполняются ряд свойств, включая аксиомы Архимеда и непрерывности. Величины могут быть постоянными или переменными, несколько величин могут быть связаны между собой алгебраически или иным способом.
Первоначально была определена положительная скалярная величина с отношением неравенства и операцией сложения. Среди её обобщений векторы и тензоры, для которых нельзя определить отношение неравенства, «неархимедовы» величины, для которых не выполняется аксиома Архимеда. Система действительных чисел также может рассматриваться как система величин.
Скалярная величина
Шаблон:Main Для однородных скалярных величин устанавливается отношение неравенства и смысл операции сложения. Они обладают следующими свойствами[2]:
- для любых a и b имеет смысл только одно из трёх соотношений: или a = b, или a > b, или a < b;
- выполняется транзитивность отношений меньше и больше, то есть если a < b и b < c, то a < c;
- существует однозначно определённая сумма любых двух величин, то есть c = a + b;
- выполняется коммутативность сложения, то есть a + b = b + a;
- выполняется ассоциативность сложения, то есть a + (b + c) = (a + b) + c;
- выполняется монотонность сложения, то есть a + b > a;
- существует однозначно определённая возможность вычитания, то есть если a > b, то существует c, такое, что b + c = a;
- существует возможность деления, то есть для любого а и натурального числа n существует b, такое, что bn = a;
- выполняется аксиома Архимеда, то есть для любых a и b существует натуральное n, такое, что a < nb;
- выполняется аксиома непрерывности.
Величина является абстрактным понятием, которое выражает категорию количества. Скалярная величина характеризуется одним числом[3].
Обобщения понятия
С развитием математики смысл понятия величины подвергался обобщениям. Понятие было расширено на «нескалярные» величины, для которых определено сложение, но не определено отношение порядка. К ним относятся векторы и тензоры. Следующим расширением стал отказ от аксиомы Архимеда или использование её с некоторыми оговорками (например, натуральность числа n для положительных скалярных величин). Такие величины используются в отвлечённых математических исследованиях[2].
Кроме того, используются постоянные и переменные величины. При рассмотрении переменных величин принято говорить, что в различные моменты времени они принимают различные числовые значения[2].
Исторический очерк
Евклид (III век до н. э.) ввёл понятие положительной скалярной величины, что являлось непосредственным обобщением таких конкретных понятий, как длина, площадь, объём, масса[2]. В пятой книге «Начал» сформулированы основные свойства величины (возможно, она принадлежит перу Евдокса), в седьмой книге рассматриваются числа и даётся определение величины, в десятой книге рассматриваются соизмеримые и несоизмеримые величины[4]. Древнегреческие математики развили теорию измерения величин, основанную на первых девяти свойствах величины (включая аксиому Архимеда)[2].
Род величины связан со способом сравнения объектов. Например, понятие длины вытекает из сравнения отрезков с помощью наложения: отрезки имеют одинаковую длину, если совпадают при наложении, и длина одного отрезка меньше длины другого, если при наложении первый отрезок не покрывает второй целиком. Сравнение плоских фигур приводит к понятию площади, пространственных тел — объёма[2]. Свои соображения Евклид иллюстрировал операциями с отрезками, но сам при этом рассматривает величины как абстрактные понятия. Его теория применяется к углам и времени[4].
Греческие математики рассматривали величины, которые можно было измерить линейкой с единичной длиной и циркулем[4]. Система всех длин, находящихся в рациональном отношении к единичной длине, удовлетворяет требованиям 1—9, но не охватывает систему всех длин вообще. Открытие существования несоизмеримых отрезков приписывается Пифагору (VI век до н. э.)[2]. Арабские математики рассматривали более сложные величины, в частности, решали кубические уравнения геометрическими методами[4]. Для полного определения системы положительных скалярных величин была введена аксиома непрерывности. В результате все величины системы однозначно представляются в виде a = αl, где α — положительное действительное число, а l — единица измерения[2].
Следующим этапом стало рассмотрение направленных отрезков на прямой и противоположно направленных скоростей. Если к системе положительных скалярных величин добавить нуль и отрицательные величины, то полученное обобщение, получившее название скалярной величины, является основным в механике и физике. В таком обобщении — это любое действительное число (положительное, отрицательное или равное нулю). Данное обобщение прибегает к понятию числа, но того же можно добиться изменением в формулировке свойств[2].
Декарт ввёл понятие переменной величины[3].
В XVII веке вещественные числа тесно ассоциировались с понятием величины, а математика считалась наукой о величинах[5].
См. также
Примечания
Ссылки
- [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/699/ «Величина» в Математической энциклопедии]
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокMathEncне указан текст - ↑ 3,0 3,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокPhEncне указан текст - ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокMacTutor_1не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокMacTutor_2не указан текст
