Русская Википедия:Вершина (геометрия)
Вершина — точка, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников[1].
Определение
Вершина угла
Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точкеШаблон:Sfn.
Вершина многоугольника многогранника
Вершина — это угловая точка многоугольника или многогранника (любой размерности), иначе говоря его 0-мерная граней.
В многоугольнике вершина называется «выпуклой», если внутренний угол многоугольника меньше π радиан (180° — два прямых угла). В противном случае вершина называется «вогнутой».
Более обще, вершина многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника с достаточно малой сферой, имеющей вершину в качестве центра, представляет собой выпуклую фигуру; в противном же случае вершина является вогнутой.
Вершины многогранника связаны с вершинами графа, поскольку многогранника является графом, вершины которого соответствуют вершинам многогранникаШаблон:Sfn, а следовательно, граф многогранника можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершинами которого служат вершины графа. Однако, в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных рёбер, что обычно не разрешается для вершин геометрических. Также имеется связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой, точками экстремумов её кривизны — вершины многоугольника в некотором смысле являются точками бесконечной кривизны, и, если многоугольник приблизить гладкой кривой, точки экстремальной кривизны будут лежать вблизи вершин многоугольникаШаблон:Sfn. Однако, приближение многоугольника с помощью гладкой кривой даёт дополнительные вершины в точках минимальной кривизны.
Вершины плоских мозаик
Вершина плоской мозаики (замощения) — это точка, где встречаются три и более плиток мозаикиШаблон:Sfn, но не только: плитки замощения также являются многоугольниками, а вершины мозаики являются вершинами этих плиток. Более обще, замощение можно рассматривать как вид топологического CW-комплекса. Вершины других видов комплексов, таких как симплициальные, — это грани нулевой размерности.
Основная вершина
Вершина <math>x_i</math> простого многоугольника <math>P</math> является основной вершиной, если диагональ <math> [x_{i-1},x_{i+1}]</math> пересекает границы <math>P</math> только в точках <math> x_{i-1}</math> и <math> x_{i+1}</math>. Существует два типа основных вершин: «уши» и «рты» (см. ниже)Шаблон:Sfn.
«Уши»
Основная вершина <math>x_i</math> простого многоугольника <math>P</math> называется «ухом», если диагональ <math> [x_{i-1},x_{i+1}]</math> лежит полностью в <math>P</math>. (см. также выпуклый многоугольник)
«Рты»
Основная вершина <math>x_i</math> простого многоугольника <math>P</math> называется «ртом», если диагональ <math> [x_{i-1},x_{i+1}]</math> лежит вне <math>P</math>.
Число вершин многогранника
Любая поверхность трёхмерного выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику:
- <math>V - E + F = 2 ,</math>
где <math>V</math> — число вершин, <math>E</math> — число рёбер, а <math>F</math> — число граней. Это равенство известно как уравнение Эйлера. К примеру, куб имеет 12 рёбер и 6 граней, а потому — 8 вершин: <math>8-12+6=2</math> .
Вершины в компьютерной графике
В компьютерной графике объекты часто представляются как триангулированные многогранники, в которых вершинам объекта сопоставляются не только три пространственные координаты, но и другая необходимая для правильного построения изображения объекта графическая информация, такая как цвет, отражательная способность, текстура, нормали вершинШаблон:Sfn. Эти свойства используются при построении изображения с помощью вершинного шейдера, части Шаблон:Не переведено 5.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга (Аутентичный перевод книги Евклида «Начала» с обширными историческими исследованиями и детальными комментариями по тексту книги.)
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
Ссылки
