Русская Википедия:Выборочная дисперсия
Материал из Онлайн справочника
Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения, рассчитанная на основе данных выборки. Виды выборочных дисперсий:
- смещённая;
- несмещённая, или исправленная
Определения
Пусть <math>X_1,\ldots,X_n,\ldots</math> — выборка из распределения вероятности. Тогда
- выборочная дисперсия — это случайная величина
- <math>S^2_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^2</math>,
где символ <math>\bar{X}</math> обозначает выборочное среднее;
- несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина
- <math>S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2</math>.
Замечание
Очевидно,
- <math>S^2 = \frac{n}{n-1} S^2_n</math>.
Свойства выборочных дисперсий
- Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть <math>\hat{F}(x)</math> — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного <math>\omega \in \Omega</math> функция <math>\hat{F}(\omega,x)</math> является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна <math>S^2_n(\omega)</math>.
- Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если <math>\mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 < \infty</math>, то
- <math>S_n^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2</math>
и
- <math>S^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2</math>,
где символ «<math>\to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P</math>»}} обозначает сходимость по вероятности.
- Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия — несмещённой:
- <math>\mathbb{E}\left[S^2_n\right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2</math>,
и
- <math>\mathbb{E}\left[S^2\right] = \sigma^2</math>.
- Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат. Пусть <math>X_i \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2),\; i=1,2,\ldots</math>. Тогда
- <math>(n-1) \frac{S^2}{\sigma^2} \equiv n \frac{S^2_n}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)</math>.
См. также
- Дисперсия случайной величины
- Выборочное среднее
- Несмещённая оценка
- Дисперсия Аллана
- Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки
