Русская Википедия:Вычислимое число
Шаблон:Нет источников В математике вычислимое (или рекурсивное) число — это число, которое может быть вычислено с любой заданной точностью с помощью алгоритма (для комплексных чисел должны быть вычислимы и действительная, и мнимая части).
Число, не являющееся вычислимым, называется невычислимым (примером невычислимого числа является константа Хайтина в проблеме остановки).
Любое алгебраическое число (а значит, любое рациональное и тем более любое целое число) является вычислимым. Любой элемент кольца периодов (что включает в себя число π и многие другие трансцендентные числа) является вычислимым. Любое вычислимое число является арифметическим.
Множество всех вычислимых чисел является счётным множеством, а множество всех невычислимых чисел — несчётным. Множество всех вычислимых чисел (равно как и множество всех невычислимых чисел) плотно в <math>\R</math> и в <math>\Complex.</math>
Порядок на множестве вычислимых действительных чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.
Определение
Вещественное число <math>x</math> называется вычислимым[1], если существует алгоритм, который позволяет для каждого <math>n \in P</math> вычислить за конечное число шагов двоичную дробь <math>a = \frac{k}{2^r},\ k \in \mathbb Z,\ r \in \mathbb N</math>, такую, что <math>|x - a| < 2^{-n}</math>.
Свойства
- Сумма, разность и произведение вычислимых чисел являются вычислимыми.
- Предел вычислимой последовательности рациональных чисел не обязательно является вычислимым числом (но всегда является Шаблон:Нп1)
- Существует взаимно однозначное соответствие между вычислимыми подмножествами <math>S \subset P</math> и вычислимыми вещественными числами <math>x \in [0, 1]</math>[1].
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М., Мир, 1976. — с. 375, 376.
