Русская Википедия:Геодезический поток
Геодезическим потоком на многообразии <math>M</math> называется поток (или, иными словами, однопараметрическая группа диффеоморфизмов) на касательном расслоении <math>TM</math>, траектории которого определяются следующим образом: каждый вектор <math>v</math> за время <math>t</math> сдвигается вперёд вдоль касающейся его геодезической на время <math> t</math>, оставаясь касательным к этой геодезической.
В определённом смысле, такой поток обобщает движение с постоянной скоростью в евклидовом пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>. Стоит также подчеркнуть, что, несмотря на название, геодезический поток является потоком в смысле динамических систем, определённом именно на касательном расслоении <math>TM</math>, а не на самом многообразии <math>M</math>.
Часто рассматривают геодезический поток на пространстве <math>T_1 M</math> единичных касательных векторов (поскольку длина вектора сохраняется при геодезическом потоке).
Уравнение геодезического потока в римановом многообразии можно рассматривать как уравнение гамильтоновой механики при нулевой потенциальной энергии.
Примеры
- Как и было сказано выше, для <math>{\mathbb{R}}^n</math> со стандартной евклидовой метрикой геодезический поток задаёт движение с постоянной скоростью:
- <math> \Phi^t({X},{V})=( {X}+{V} t, {V}). </math>
- Траектории геодезического потока на плоскости Лобачевского стремятся к абсолюту как в прямом, так и в обратном времени.
- Геодезический поток на многообразии отрицательной кривизны оказывается потоком Аносова: его динамика хаотична. Частным случаем этого является поток на римановой поверхности рода <math>g>1</math>, снабжённой метрикой Пуанкаре.
См. также
Литература
- Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, т.2. Геометрия многообразий. М.: Эдиториал УРСС, 1998.
