Русская Википедия:Гиперметрическое пространство
Материал из Онлайн справочника
Гиперметрическое пространство — метрическое пространство с определёнными дополнительными условиями на метрику.
Определение
Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,
- <math>\sum_{i<j}b_i\cdot b_j\cdot |x_i-x_j|\le 0</math>
для любых точек <math>x_1,\dots,x_n</math> и целых чисел <math>b_1,\dots,b_n</math> таких, что <math>\sum b_i=1</math>.[1]
Замечания
- При <math>b_1=b_2=1</math> и <math>b_3=-1</math>, гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника
- <math>|x_1-x_2|-|x_1-x_3|-|x_2-x_3|\le 0.</math>
Примеры
- <math>\ell_1</math>-пространство и его подпространства.
- Любое 6-точечное гиперметрическое пространство вкладывается в <math>\ell_1</math>.
- Существуют примеры 7-точечных гиперметрических пространств которые не вкладываются в <math>\ell_1</math>. Такова например метрика на полном графе <math>K_7</math> без двух смежных рёбер.
- Пусть <math>Y</math> — семейство измеримых подмножеств пространства <math>X</math> с мерой <math>\mu</math>. Если метрика на <math>Y</math> задана как
- <math>|A-B|_Y=\mu(A\triangle B)=\mu((A\cup B)\setminus (A\cap B)),</math>
- то <math>Y</math> является гиперметрическим пространством.
Примечания