Русская Википедия:Гипотеза Зарисского
Гипотеза Зарисского
Обозначим через <math>\mathbb{C}[X_1, X_2, ..., X_n]</math> множество всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных <math>X_1, X_2, ..., X_n</math>. Пусть в <math>\mathbb{C}[X_1, X_2, ..., X_n]</math> выбрано подмножество <math>A</math>, содержащее все константы <math>C</math> и обладающее следующими свойствами: если <math>f,g \in A</math>, то <math>f - g</math> и <math>fg</math> лежат в <math>A</math>. Предположим, что существует такой многочлен <math>T \in \mathbb{C}[X_1, X_2, ... X_m]</math>, что каждый элемент <math>f</math> из <math>\mathbb{C}[X_1, X_2, ... X_m]</math> представляется в виде многочлена <math>f=a_0+a_1T+a_2T^2+...+a_mT^m, a_0, a_1,...a_m \in A,</math>, где <math>m</math> зависит от <math>f</math>. Гипотеза Зарисского утверждает, что найдутся такие многочлены <math>T_1, T_2, ..., T_{n-1} \in \mathbb{C}[X_1, X_2, ... X_m]</math>, что каждый элемент <math>f</math> из <math>\mathbb{C}[X_1, X_2, ... X_m]</math> представляется в виде многочлена от <math>T_1, T_2, ..., T_{n-1}, T</math>. Гипотеза Зарисского доказана для <math>n=2</math> и <math>n=3</math>. Для случая <math>n>3</math> её никому доказать не удалось.
Литература
- В.А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов. Соросовский образовательный журнал, т. 7, н. 3, 2001
