Русская Википедия:Гипотеза Морделла
Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода <math>g > 1</math>, выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля <math>\mathbb{Q}</math> рациональных чисел на произвольное числовое поле. Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.
Предпосылки
Пусть <math>C</math> — неособая алгебраическая кривая над полем <math>\mathbb{Q}</math>. Множество рациональных точек кривой <math>C</math> зависит от её рода <math>g</math> следующим образом:
- Случай <math>g = 0</math>: рациональных точек нет, либо их бесконечно много; <math>C</math> является коническим сечением.
- Случай <math>g = 1</math>: рациональных точек нет, либо <math>C</math> является эллиптической кривой, а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу. Это следует из теоремы Морделла, позднее обобщённой до en (Mordell–Weil theorem). Кроме того, теорема Мазура о кручении ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.
- Случай <math>g > 1</math>: согласно выдвинутой Морделлом гипотезе, <math>C</math> может иметь лишь конечное число рациональных точек.
Доказательство
В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род <math>g > 1</math>, поле определения <math>K</math> и множество точек плохой редукции <math>S</math>. В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.
В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю en (Tate conjecture) и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию en (Néron model).
Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано en (Paul Vojta). Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери.
Следствия
Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:
- Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек.
- Гипотезу Шафаревича о существовании лишь конечного, с точностью до изоморфизма, множества абелевых многообразий заданных размерности и степени поляризации над фиксированным числовым полем, имеющих хорошую редукцию всюду вне заданного конечного множества точек этого поля.
- Теорему об изогении абелевых многообразий, имеющих изоморфные модули Тейта.
Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного <math>n \geq 4</math> существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения <math>a^n + b^n = c^n</math>, поскольку для таких n кривая Ферма <math>x^n + y^n = 1</math> имеет род, больший 1.
Обобщения
В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой <math>C</math> с конечнопорождённой подгруппой <math>\Gamma</math> абелева многообразия <math>A</math>. Заменяя <math>C</math> на произвольное подмногообразие <math>A</math> и <math>\Gamma</math> на произвольную подгруппу конечного ранга <math>A</math>, мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла — Ленга, которая была доказана.
Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри — Ленга, утверждающая, что если <math>X</math> — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем <math>k</math>, то множество <math>k</math>-рациональных точек <math>X(k)</math> нигде не плотно в топологии Зарисского в <math>X</math>. Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войта.
Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. en (Robert F. Coleman) в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.
Литература
- Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
- Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
Ссылки
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья. — «Шаблон:Inconsistent citations». Шаблон:Wayback
- Шаблон:Книга > Contains an English translation of Faltings (1983)
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья. — «Шаблон:Inconsistent citations».
- Шаблон:Книга > Gives Vojta’s proof of Falting’s Theorem.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья. — «Шаблон:Inconsistent citations».
- Шаблон:Статья. — «».
- Шаблон:Книга
- Шаблон:SpringerEOM
