Русская Википедия:Гомологическое многообразие

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Гомологическое многообразие — локально компактное топологическое пространство, которое выглядит локально как топологическое многообразие с точки зрения теории гомологий.

Большинство утверждений о гомологиях многообразий, как например двойственность Пуанкаре, допускают естественные обобщения на случай гомологических многообразий.

Определение

Гомологическое G-многообразие (без границы) размерности n над абелевой группой <math>G</math> есть локально компактное топологическое пространство <math>X</math> с конечной <math>G</math>-когомологической размерностью такое, что для любой точки <math>x\in X</math> группы гомологий

<math> H_p(X,X-x, G)=0</math>

при <math>p\ne n</math> и

<math> H_n(X,X-x, G)=G.</math>

Здесь <math>H</math> есть некоторая теория гомологий, обычно сингулярные гомологии.

Если группа <math>G</math> не уточняется, то считается <math>G=\mathbb{Z}</math>.

Более общо, можно дать определение гомологического многообразия с границей, позволив локальной группе гомологий пропадать в каких-то точках, которые, конечно, образуют границу гомологического многообразия. Границa n-мерного гомологического многообразия является <math>(n-1)</math>-мерным гомологическим многообразием (без границы).

Примеры

• Любое топологическое многообразие является гомологическим многообразием.
• Сферическая надстройка над сферой Пуанкаре является 4-мерным гомологическим многообразием, но не многообразием.
  • Сферическая надстройка над любой гомологической сферой является гомологическим многообразием, но не всегда многообразием.

Свойства

• Двумерное гомологическое многообразие является топологическим многообразием.
• Если произведение пространств <math>X\times Y</math> является топологическим многообразием, то каждое пространство <math>X</math> и <math>Y</math> является гомологическим многообразием.

Ссылки

• Шаблон:Из
• W. J. R. Mitchell, «Defining the boundary of a homology manifold», Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 110, No. 2. (Oct., 1990), pp. 509—513.