Русская Википедия:Гребень Дирака
Материал из Онлайн справочника
Гребень Дира́ка — это периодическое распределение Шварца, построенное из дельта-функций
- <math>\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)</math>
для некоторого заданного периода <math>T</math>.
Ряды Фурье
Очевидно, что <math>\Delta_{T}(t)</math> периодическая с периодом <math>T</math>. Поэтому
- <math>\Delta_T(t+T) = \Delta_T(t)</math>
для всех <math>t</math>. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции
- <math> \Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \ </math>
где <math>c_{n}</math> коэффициенты Фурье, равные
<math>c_n</math> <math>= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty < t_0 < +\infty ) \ </math> <math>= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \ </math> <math>= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \ </math> <math>= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \ </math> <math>= \frac{1}{T}. \ </math>
В результате того, что все коэффициенты Фурье равны <math>1/T</math>, получаем окончательное выражение
- <math>\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}</math>.
Ссылки
- Шаблон:Citation; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
- Шаблон:Citation
