Русская Википедия:Группа (математика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике её элементов, создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц.

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы.

Современная теория групп является активным разделом математики. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Определение

Множество <math>G</math> с заданной на нём бинарной операцией <math>{*}</math>: <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} </math> называется группой <math>(\mathrm{G}, *) </math>, если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: <math>\forall (a, b, c\in G)\colon (a*b)*c = a*(b*c)</math>;
2. наличие нейтрального элемента: <math>\exists e \in G \quad \forall a \in G\colon (e*a=a*e=a)</math>;
3. наличие обратного элемента: <math>\forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)</math>.

Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной <math>*</math>: Шаблон:Начало цитаты<math>\forall (a,b\in G) \quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)</math>. Шаблон:Конец цитаты При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементамиШаблон:Sfn.

Связанные определения

Файл:Magma to group4 ru.svg

Группа и связанные с ней простейшие алгебраические структуры

• В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности.
  • Пары элементов <math>a,\;b</math>, для которых выполнено равенство <math>a*b = b*a</math>, называются перестановочными или коммутирующими.
  • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
  • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
• Подгруппа — подмножество <math>H</math> группы <math>G</math>, которое является группой относительно операции, определённой в <math>G</math>.
• Порядок группы <math>(G,*)</math> — мощность <math>G</math> (то есть число её элементов).
  • Если множество <math>G</math> конечно, то группа называется конечной.
• Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп <math>f \colon (G,*) \to (H,\times)</math> называется гомоморфизмом, если удовлетворяет условию <math>f(a * b) = f(a) \times f(b)</math>.
• Две группы называются изоморфными, если существуют гомоморфизм групп <math>f \colon (G,*) \to (H,\times)</math> и гомоморфизм групп <math>g\colon

(H,\times) \to (G,*) </math>, такие что <math>f(g(a)) = a</math> и <math>g(f(b))=b</math>, где <math>b\in G</math> и <math>a\in H</math>. В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами.

• Для элемента <math>g \in G</math> левый смежный класс по подгруппе <math>H</math> — множество <math>gH= \{gh \mid h\in H\}</math>, правый смежный класс по подгруппе <math>H</math> — множество <math>Hg= \{hg \mid h\in H\}</math>.
• Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого <math>g \in G</math>, <math>gH = Hg</math>.
• Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

• результат операции называют произведением и записывают <math>a \cdot b

</math> или <math>a b </math>;

• нейтральный элемент обозначается «<math>1

</math>» или <math>e </math> и называется единицей;

• обратный к <math>a

</math> элемент записывается как <math>a^{-1} </math>.

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу <math>\mathrm{G} </math> при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: <math>(\mathrm{G}, \cdot) </math>.

Кратные произведения <math>aa</math>, <math>aaa</math>, <math>...</math> записывают в виде натуральных степеней <math>a^2</math>, <math>a^3 </math>,<math>...</math>. Для элемента <math>a</math> корректно определена целая степень, записывается следующим образом: <math>a^0=e</math>, <math>a^{-n} = (a^{-1})^n</math>.

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

• пишут «<math>a + b

</math>» и называют получившийся элемент суммой элементов <math>a </math> и <math>b </math>;

• нейтральный элемент обозначают как «<math>0

</math>» и называют его нулём;

• обратный элемент к <math>a

</math> обозначают как «<math>-a </math>» и называют его противоположным к <math>a </math> элементом;

• запись сокращают следующим образом: <math>a + (-b) = a -b</math>;
• выражения вида <math>a+a</math>, <math>a+a+a</math>,<math>-a-a</math> обозначают символами <math>2a</math>, <math>3a</math>, <math>-2a</math>.

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу <math>\mathrm{G}</math> при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: <math>(\mathrm{G}, +)</math>. Этот термин относится только к способу записи операции в группе; он полезен, когда на множестве задано несколько операций. Например, можно говорить об аддитивной группе вещественных чисел или о мультипликативной группе положительных вещественных чисел. Кроме того, встречаются случаи, когда аддитивная группа изоморфна мультипликативной (см. Корни из единицы).

Примеры

• Множество целых чисел, снабжённое операцией сложения, является группой.
• Множество всех рациональных чисел, кроме нуля, с операцией умножения является группой.

Группы применяются в различных областях математики. Например, в топологии, введя понятие фундаментальной группы. Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии, которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов.

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика, химия и информатика.

Файл:Clock group.svg

Часы показывают время по модулю 12. <math> \begin{align} n = 12\\ 9+4 &\equiv 1 \pmod {12}\, \end{align}</math>.

• Целые числа по модулю <math>n</math> — результатом сложения по модулю <math>n</math> является остаток суммы при делении на <math>n</math>. Множество целых чисел от <math>0</math> до <math>n-1</math> образует группу с этой операцией. Нейтральный элемент — <math>0</math>, обратный элемент к <math>a\neq0</math> является число <math> n-a\equiv -a\pmod n</math>. Наглядным примером такой группы

могут быть часы с циферблатом.

• Целые числа с операцией сложения. <math>(\mathbb{Z},+)</math> — коммутативная группа с нейтральным элементом <math>0</math>. Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, <math>a=2</math>, тогда <math>a\cdot b=1</math> то есть <math>b = 1/2</math>. Обратный элемент не является целым числом.
• Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица.
• Свободная группа с двумя образующими (<math>F_2</math>) состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов <math>a

</math>, <math>a^{-1}</math>, <math>b</math> и <math>b^{-1}</math> таких, что <math>a </math> не появляется рядом с <math>a^{-1}</math> и <math>b</math> не появляется рядом с <math>b^{-1}</math>. Операция умножения таких слов — это просто соединение двух слов в одно с последующим сокращением пар <math>aa^{-1}</math>, <math>a^{-1}a</math>, <math>bb^{-1}</math> и <math>b^{-1}b</math>.

• Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Мощность конечной симметрической группы <math>S_{n}</math> для множества из <math>n</math> элементов равна <math>n!</math>. При <math>n \geq 3</math> эта группа не является абелевой. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

Файл:Cyclic group.svg

6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу

• Циклические группы состоят из степеней <math>\langle a \rangle = \{ a^n \mid n \in \mathbb{Z} \}

</math> одного элемента <math>a </math>. Элемент <math>a </math> называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из <math>n</math> комплексных корней из единицы, то есть группа комплексных чисел <math>z</math>, удовлетворяющих условию <math>z^n = 1</math> и операции умножения комплексных чисел. Мультипликативная конечная группа <math>(\mathrm{G}, \cdot) </math> также является циклической. Например, <math>3</math> является образующим элементом группы <math>\mathrm{G} </math> при <math>n = 5</math>:

<math> \begin{align}

3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\ 3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\ 3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\ 3^4 &\equiv 1 \pmod 5\, \end{align}</math>

• Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы <math>S_{48}</math>, элементы которой соответствуют преобразованиям кубика Рубика. Композиция двух преобразований снова является преобразованием, для каждого преобразования существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент.
• Группы Галуа. Были введены в математику для решения в радикалах полиномиальных уравнений от одной переменной. Например, решение квадратного уравнения <math alt="x = (negative b plus or minus the squareroot of (b squared minus 4 a c)) over 2a">ax^2+bx+c=0</math> даёт корни: <math alt="x = (negative b plus or minus the squareroot of (b squared minus 4 a c)) over 2a">x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math> Подобные формулы есть для уравнений третьей и четвёртой степени, но не существуют для уравнений степени <math>5</math> и выше.

Простейшие свойства

• Для каждого элемента <math>a</math> обратный элемент <math>a^{-1}</math> единственен.
• Нейтральный элемент единственен:

  Если <math>e_1, e_2</math>— нейтральные, то <math>e_1 \cdot e_2 = e_1 = e_2 \cdot e_1 = e_2 = e_1</math>.

• <math>(a^m)^n=a^{mn}</math>.
• <math>(a^{-1})^{-1} = a</math>.
• <math>a^{m+n}=a^m\cdot a^n</math>.
• <math>e^n=e</math>, для любого <math>n \in\mathbb{Z}</math>.
• <math>(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}</math>.
• Верны законы сокращения:

  <math>c \cdot a = c \cdot b \Leftrightarrow a = b</math>,

  <math>a \cdot c = b \cdot c \Leftrightarrow a = b</math>.

• Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
• Группа содержит единственное решение <math>x

</math> любого уравнения <math>x \cdot c = b </math> или <math>c \cdot x = b </math>; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».

• Пересечение двух подгрупп группы <math>\mathrm{G}

</math> есть подгруппа группы <math>\mathrm{G} </math>Шаблон:Sfn.

• Теорема Лагранжа: если <math>\mathrm{G}

</math> — группа конечного порядка <math>g </math>, то порядок <math>g_1 </math> любой её подгруппы <math>\mathrm{G_1} </math> является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.

• Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы

Группу можно задать:

• С помощью порождающего множества и набора соотношений между его элементами;
• Факторгруппой <math>G / H

</math>, где <math>G </math> — некоторая группа и <math>H </math> — её нормальная подгруппа;

• Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
  • Прямым произведением двух групп <math>(G, \cdot )</math> и <math>(H, \cdot )</math>, то есть множеством <math>G \times H

</math> пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: <math>(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2) </math>;

• Свободным произведением двух групп: свободное произведение групп <math>G

</math> и <math>H</math> есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих <math>G </math> и <math>H</math>, a система соотношений есть объединение систем соотношений <math>G </math> и <math>H</math>.

История

Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа, доработав исследования Руффини и Лагранжа, дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней. Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок. Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θⁿ = 1» (Шаблон:Lang-en).

Геометрия — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть «Эрлангенской программы» немецкого математика Феликса Клейна. После возникновения новых разделов геометрии, таких как гиперболическая и проективная геометрии, Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия группы Ли в математику в 1884 году.

Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — теория чисел. Некоторые абелевы группы были неявно использованы в работе Гаусса «Арифметические исследования» (1801). В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году Кронекер обобщил работы Куммера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе.

Обособление теории групп началось с работы Камиля Жордана «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870). В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа Фробениуса и Бёрнсайда о представлении конечных групп, модульная теория представлений Ричарда Браура и записи Шура. Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли Вейль и Картан. Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория алгебраических групп, впервые сформулированная Клодом Шевалле, позднее упоминаемая в работах Бореля и Титса.

В 1960—61 учебном году в Чикагском университете проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, Джон Томпсон и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели теорему о классификации всех простых конечных групп в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики.

Вариации и обобщения

• Группоид — множество с заданной на нём бинарной операцией.
• Квазигруппа — группоид, состоящий из некоторого множества <math>Q

</math> и бинарной операции <math>\cdot </math>, такой что для любых <math>a,b \in Q </math> найдутся единственные элементы <math>x </math> и <math>y </math>, такие что <math>a \cdot x =b </math> и <math>y \cdot a = b </math>.

• Полугруппа — алгебраическая система с заданной на ней ассоциативной бинарной операцией. Множество натуральных чисел с операцией сложения образует полугруппу.
• Множество <math>G</math> с заданной на нём бинарной операцией, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Множество нeотрицательных целых чисел с операцией сложения образуют моноид.

Группы с дополнительной структурой

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий это — групповые объекты в категории; иными словами, это — объекты (то есть, например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством, так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств).

Кольца

Кольцо — множество <math>K </math>, на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.

Кольцо называют коммутативным и ассоциативным, если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца <math>1 </math> называется единицей, если выполнено условие: <math>a \cdot 1 = 1 \cdot a = a </math>, где <math>a </math> — любой элемент кольца.

Числовые множества Z, Q, R являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество векторов с операцией векторного умножения является антикоммутативным кольцом (то есть <math>a \cdot b = - b \cdot a </math>) в силу свойств векторного умножения: <math>a \times b + b \times a = 0 </math>.

Поля

Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо <math>F</math> с единицей, причём относительно сложения <math>F</math> образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества рациональных и вещественных чисел являются полями. В любом поле <math>a \cdot b = 0 </math> только при <math>a = 0 </math> и/или <math> b = 0 </math>.

Топологические группы

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой.

Именно, топологическая группа — это группа, являющаяся одновременно топологическим пространством, причём умножение элементов группы <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} </math> и операция взятия обратного элемента <math>\mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} </math> оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии. Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространствах Top.

Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа вещественных чисел <math>(\mathbb{R}, +) </math>, мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел <math>(\mathbb{R^*}, \cdot) </math>, полная линейная группа <math>GL(n)</math>, специальная линейная группа <math>SL(n)</math>, ортогональная группа <math>O(n)</math>, специальная ортогональная группа <math>SO(n)</math>, унитарная группа <math>U(n)</math>, специальная унитарная группа <math>SU(n)</math>.

Группы Ли

Группа Ли (в честь Софуса Ли) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля вещественных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} </math> и операция взятия обратного элемента <math>\mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} </math> оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений). При этом всякая комплексная <math>n </math>-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности <math>2n </math>.

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуют изометрии вида <math>\mathrm{E} \rightarrow \mathrm{E} </math>, где <math>\mathrm{E} </math> — евклидово точечное пространство. Полученная группа, обозначаемая <math>Is(\mathrm{E} ) </math>, является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства <math>\mathrm{E} </math>, обозначаемой <math>Aff(\mathrm{E} ) </math>.

Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике.

См. также

• Алгебраические структуры
• Словарь терминов теории групп
• Группа многогранника
• Группа Клейна

Литература

Научная литература

• Шаблон:Source
• Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

Популярная литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга