Русская Википедия:Группа Гейзенберга
Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида
- <math>
\begin{pmatrix}
1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}, </math> где элементы a, b, c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется:
- кольцо вещественных чисел <math>R=\mathbb{R}</math> — так называемая непрерывная группа Гейзенберга, обозначается <math>H_3(\mathbb{R})</math>, или
- кольцо целых чисел <math>R=\mathbb{Z}</math> — так называемая дискретная группа Гейзенберга, обозначается <math>H_3(\mathbb{Z})</math>, или
- кольцо вычетов <math>R=\mathbb{Z}_p</math> с простым числом p — группа обозначается <math>H_3(\mathbb{Z}_p)</math>.
Названа в честь Вернера Гейзенберга, который использовал эту группу в квантовой механике: непрерывная группа Гейзенберга используется для описания одномерных квантово-механических систем.
Алгебра Гейзенберга
Алгебра Ли <math>\mathfrak h</math> группы Гейзенберга <math>H</math> (над полем вещественных чисел) известна как алгебра Гейзенберга. Она может быть реализована в пространстве матриц 3×3 вида [1]
- <math>\begin{pmatrix}
0 & a & c\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}, </math> где <math>a, b, c\in\mathbb R</math>.
Следующие три матрицы образуют базис для <math>\mathfrak h</math>,
- <math>
X = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix};\quad Y = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix};\quad Z = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}. </math> И удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
- <math>[X, Y] = Z;\quad [X, Z] = 0;\quad [Y, Z] = 0</math>.
Название "Группа Гейзенберга" мотивируется тем, что соотношения имеют ту же форму, что и каноническое коммутационное соотношение в квантовой механике [2],
- <math>\left[\hat x, \hat p\right] = i\hbar I;\quad \left[\hat x, i\hbar I\right] = 0;\quad \left[\hat p, i\hbar I\right] = 0,</math>
где <math>\hat x</math> — оператор координаты, <math>\hat p</math> — оператор импульса, и <math>\hbar</math> — постоянная Планка.
Вариации и обобщения
Группа Гейзенберга обобщается на любое число измерений. Именно, группа Гейзенберга <math>H_{n+2}, \ n \ge 1,</math> состоит из квадратных матриц порядка n+2:
- <math>
\begin{pmatrix}
1 & a_1&a_2&\dots&a_n & c\\ 0 & 1& 0 &\dots & 0& b_1\\ 0 & 0 & \ddots&\ddots &\vdots & b_2\\ \vdots & \vdots &\ddots &\ddots &0& \vdots\\ 0 & 0 &\dots & 0& 1&b_n\\ 0 & 0 & \dots&\dots & 0 & 1\\
\end{pmatrix}, </math> элементы <math>a_i, b_i, c</math> принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей.
Непрерывная группа Гейзенберга <math>H_{n+2}(\mathbb{R})</math> представляет собой связную, односвязную группу Ли (с топологией, порожденной стандартной топологией <math>\mathbb{R}</math>), алгебра Ли которой (размерности 2n+1) состоит из матриц вида
- <math>
\begin{pmatrix}
0 & a_1&a_2&\dots&a_n & c\\ 0 & 0& 0 &\dots & 0& b_1\\ 0 & 0 & \ddots&\ddots &\vdots & b_2\\ \vdots & \vdots &\ddots &\ddots &0& \vdots\\ 0 & 0 &\dots & 0& 0&b_n\\ 0 & 0 & \dots&\dots & 0 & 0\\
\end{pmatrix}. </math>
Примечания
Литература
- Кириллов А.А. Элементы теории представлений, — М.: Наука, 1978. Шаблон:Wayback
- Ernst Binz & Sonja Pods. Geometry of Heisenberg Groups, — American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4495-3.
- Roger Evans Howe. On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis, — Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821.
- A.A. Kirilov. Lectures on the Orbit Method (Chapter 2: Representations and Orbits of the Heisenberg Group), — American Mathematical Society, 2004.
- Шаблон:Cite book
- ↑ Шаблон:Harvnb Proposition 3.26
- ↑ Шаблон:Cite book
