Русская Википедия:Дедекиндово кольцо

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Поле — это целостное кольцо, в котором нет ненулевых собственных идеалов, поэтому предыдущее свойство, строго говоря, выполняется. Некоторые авторы добавляют в определение дедекиндова кольца условие «не являющееся полем»; многие другие авторы следуют неявному соглашению, что формулировки всех теорем для дедекиндовых колец можно тривиальным образом подправить, так, чтобы они выполнялись и для полей.

Из определения немедленно следует, что всякая область главных идеалов — дедекиндово кольцо. Дедекиндово кольцо является факториальным тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.

Предыстория появления понятия

В XIX веке стало распространённой техникой использование колец алгебраических чисел для решения диофантовых уравнений. Например, в попытке определить, какие целые числа представимы в виде <math>x^2+my^2</math>, довольно естественно разложить квадратичную форму на множители <math>(x+\sqrt{-m}y)(x-\sqrt{-m}y)</math>, разложение происходит в кольце целых квадратичного поля <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-m})</math>. Сходным образом, для натурального <math>n</math> многочлен <math>z^n-y^n</math> (который возникает при решении уравнения Ферма <math>x^n+y^n = z^n</math>) можно разложить в кольце <math>\mathbb{Z}[\zeta_n]</math>, где <math>\zeta_n</math> — примитивный <math>n</math>-й корень из единицы.

При малых значениях <math>m</math> и <math>n</math> эти кольца целых являются областями главных идеалов; в некотором смысле это является объяснением частичного успеха Ферма (<math>m = 1, n = 4</math>) и Эйлера (<math>m = 2,3, n = 3</math>) в решении этих двух задач. К этому времени специалистам по изучению квадратичных форм была известна процедура проверки кольца целых квадратичного поля <math>\mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> на свойство «быть областью главных идеалов». Гаусс изучал случай <math>D < 0</math>: он нашел девять значений <math>D</math>, удовлетворяющих свойству, и предположил, что других значений нет (Гипотеза Гаусса была доказана более чем через сто лет после этого).

К XX веку математики начали понимать, что условие главных идеалов слишком тонкое, а условие дедекиндовости более крепкое и устойчивое. Например, Гаусс предположил, что существует бесконечно много положительных простых <math>p</math>, таких что кольцо целых поля <math>\mathbb{Q}(\sqrt{p})</math> — область главных идеалов; однако к сегодняшнему дню неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей, кольца целых которых удовлетворяют этому условию! С другой стороны, кольцо целых числового поля всегда является дедекиндовым.

Другое доказательство этой «устойчивости» — то, что дедекиндовость является локальным свойством: нётерово кольцо <math>R</math> является дедекиндовым тогда и только тогда, когда его локализация по любому максимальному идеалу дедекиндова. Но локальное кольцо дедекиндово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов и кольцом дискретного нормирования, так что для областей главных идеалов дедекиндовость — это глобализация свойства дискретного нормирования.

Эквивалентные определения

Для целостного кольца <math>R</math>, не являющегося полем, следующие утверждения эквивалентны:

• Каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых;
• <math>R</math> нётерово и его локализация по любому максимальному идеалу — кольцо дискретного нормирования;
• Любой дробный идеал кольца <math>R</math> обратим;
• <math>R</math> целозамкнуто, нётерово, и его размерность Крулля равна единице.

Кольцо Крулля — это «многомерный» аналог дедекиндова кольца: дедекиндовы кольца (не являющиеся полями) — это в точности кольца Крулля размерности 1. Такое определение дедекиндова кольца использовал Н. Бурбаки в «Коммутативной алгебре».

Примеры

Все области главных идеалов и, следовательно, все кольца дискретного нормирования дедекиндовы.

Кольцо <math>R = \mathcal{O}_K</math> алгебраических целых чисел числового поля K нётерово, целозамкнуто и имеет размерность 1 (чтобы доказать последнее, достаточно заметить, что для любого ненулевого идеала I кольца R, R/I конечно, а конечные целостные кольца являются полями), поэтому R дедекиндово. Это основной, мотивирующий пример для теории дедекиндовых колец.

Другой пример, важность которого не меньше чем у первого, предоставляет алгебраическая геометрия. Пусть C — аффинная алгебраическая кривая над полем k. Тогда координатное кольцо k[C] регулярных функций на C дедекиндово. Действительно, это просто перевод геометрических терминов на алгебраический язык: координатное кольцо аффинного многообразия, по определению, конечнопорожденная k-алгебра (следовательно, нётерово); кривая подразумевает размерность 1, а из отсутствия особенностей следует нормальность, то есть целозамкнутость.

Оба примера являются частными случаями следующей базовой теоремы:

Теорема: пусть R — дедекиндово кольцо с полем частных K, L — конечное расширение K, а S — целое замыкание R в L. Тогда S — дедекиндово кольцо.

Применив эту конструкцию к R = Z, получаем кольцо целых числового поля. R = k[x] соответствует случаю алгебраических кривых без особенностей.

Дробные идеалы и группа классов идеалов

Пусть R — целостное кольцо с полем частных K. Дробный идеал кольца R — это ненулевой R-подмодуль K, для которого существует ненулевой x из K, такой что <math>xI \subset R.</math>

Для двух дробных идеалов I, J можно определить их произведение IJ как множество всех конечных сумм <math> \sum_n i_n j_n, \ i_n \in I, \ j_n \in J </math>: произведение IJ также является дробным идеалом. Множество Frac(R) всех дробных идеалов, таким образом, является коммутативной полугруппой, и даже моноидом: тождественный элемент — дробный идеал R.

Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

<math>I^* = (R:I) = \{x \in K \ | \ xI \subset R\}.</math>

Очевидно, <math>I^*I \subset R</math>. Равенство достигается, когда I обратим (как элемент моноида Frac(R)). Другимми словами, если I имеет обратный элемент, то этот обратный — <math>I^*</math>.

Главный дробный идеал — это дробный идеал вида <math>xR</math> для ненулевого x из K. Все дробные идеалы обратимы: обратный для <math>xR</math> — это просто <math>\frac{1}{x}R</math>. Обозначим подгруппу главных дробных идеалов Prin(R).

Целостное кольцо R — кольцо главных идеалов тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал главный. В этом случае Frac(R) = Prin(R) = <math>K^*/R^*</math>, поскольку <math>xR</math> и <math>yR</math> совпадают тогда и только тогда, когда <math>xy^{-1}</math> — обратимый элемент R.

Для произвольного целостного кольца R имеет смысл фактормоноид Frac(R) по подмоноиду Prin(R). В общем случае этот фактор является всего лишь моноидом. Легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac(R)/Prin(R) обратим тогда и только тогда, когда I сам по себе обратим.

Теперь становится понятен смысл третьего определения дедекиндова кольца: в дедекиндовом кольце — и только в дедекиндовом кольце — каждый дробный идеал обратим. Таким образом, дедекиндовы кольца — это класс колец, для которых Frac(R)/Prin(R) является группой, называемой группой классов идеалов Cl(R) кольца R. Cl(R) тривиальна тогда и только тогда, когда R — область главных идеалов.

Одна из базовых теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов идеалов кольца целых числового поля конечна.

Конечнопорожденные модули над дедекиндовыми кольцами

Помня о существовании чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов, естественно выяснить, можно ли распространить её на случай дедекиндовых колец.

Напомним формулировку структурной теоремы для модуля <math>M</math> над областью главных идеалов. Мы определяем подмодуль кручения <math>T</math> как множество таких элементов <math>m</math> кольца <math>M</math>, что <math>rm = 0</math> для некоторого ненулевого <math>r</math> из <math>R</math>. Тогда:

(1) <math>T</math> можно разложить в прямую сумму циклических модулей кручения, каждый из которых имеет вид <math>R/I</math> для некоторого ненулевого идеала <math>I</math> кольца <math>R</math>. По китайской теореме об остатках, каждый <math>R/I</math> можно разложить в прямую сумму модулей вида <math>R/P^i</math>, где <math>P^i</math> — степень простого идеала. Получившееся разложение модуля <math>T</math> единственно с точностью до порядка сомножителей.

(2) Существует дополняющий подмодуль <math>P</math> модуля <math>M</math>, такой что <math>M = T \oplus P</math>.

(3) <math>P</math> изоморфен <math>R^n</math> для однозначно определённого неотрицательного целого <math>n</math>. В частности, <math>P</math> — конечнопорождённый свободный модуль.

Теперь пусть <math>M</math> — конечнопорождённый модуль над дедекиндовым кольцом. Утверждения (1) и (2) остаются верными и для него. Однако из (3) следует, что любой конечнопорождённый модуль без кручения свободен. В частности, из этого следует, что все дробные идеалы являются главными. Иными словами, нетривиальность группы классов идеалов Cl[R] противоречит (3). Оказывается, что число «дополнительных» конечнопорождённых модулей без кручения можно проконтролировать, зная группу классов идеалов. Для произвольного конечнопорождённого модуля над дедекиндовым кольцом верно утверждение

(3') <math>P</math> изоморфно прямой сумме проективных модулей ранга 1: <math>P \cong I_1 \oplus \cdots \oplus I_r</math>. Более того, для любых проективных модулей ранга 1 <math>I_1,\ldots,I_r,J_1,\ldots,J_s</math>

<math> I_1 \oplus \cdots \oplus I_r \cong J_1 \oplus \cdots \oplus J_s</math>

выполняется тогда и только тогда, когда

<math>r = s</math>

и

<math>I_1 \otimes \cdots \otimes I_r \cong J_1 \otimes \cdots \otimes J_s.</math>

Проективные модули ранга 1 отождествляются с дробными идеалами, поэтому последнее условие можно переформулировать как

<math> [I_1 \cdots I_r] = [J_1 \cdots J_s] \in Cl(R). </math>

Следовательно, конечнопорождённый модуль ранга <math>n > 0</math> без кручения можно записать в виде <math>R^{n-1} \oplus I</math>, где <math>I</math> — проективный модуль ранга 1. Класс Штайница модуля P над R — это класс <math>[I]</math> идеала <math>I</math> в группе Cl(R), он однозначно определён. Из этого следует

Теорема. Пусть R — дедекиндово кольцо. Тогда <math>K_0(R) \cong \mathbb{Z} \oplus Cl(R)</math>, где K₀(R) — группа Гротендика коммутативного моноида конечнопорождённых проективных R-модулей.

Эти результаты были установлены Эрнстом Штайницем в 1912 году.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
• Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation