Русская Википедия:Дерево квадрантов

Материал из Онлайн справочника
Версия от 04:00, 15 августа 2023; EducationBot (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Русская Википедия/Панель перехода}} thumb|300px|Разбитая с помощью дерева квадрантов плоскость '''Дерево квадрантов''' (также '''квадродерево''', '''4-дерево''', {{lang-en|'''quadtree'''}}) — дерево, в котором у каждого внутреннего у...»)
(разн.) ← Предыдущая версия | Текущая версия (разн.) | Следующая версия → (разн.)
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Point quadtree.svg
Разбитая с помощью дерева квадрантов плоскость

Дерево квадрантов (также квадродерево, 4-дерево, Шаблон:Lang-en) — дерево, в котором у каждого внутреннего узла ровно 4 потомка. Деревья квадрантов часто используются для рекурсивного разбиения двухмерного пространства по 4 квадранта (области). Области представляют собой квадраты, прямоугольники или имеют произвольную форму. Англоязычный термин quadtree был придуман Рафаэлем Финкелем и Шаблон:Нп3 в 1974 году. Аналогичное разбиение пространства известно как Q-дерево. Общие черты разных видов деревьев квадрантов:

  • разбиение пространства на адаптирующиеся ячейки (Шаблон:Lang-en),
  • максимально возможный объём каждой ячейки,
  • соответствие направления дерева пространственному разбиению.

Классификация

Деревья квадрантов могут быть классифицированы в соответствии с типом данных, который они представляют — пространством, точками, прямыми, кривыми. Также их можно разделить по тому, зависит ли форма дерева от порядка обработки данных. Некоторые виды деревьев квадрантов:

Region quadtree

Деревья квадрантов, разбивающие пространство (Шаблон:Lang-en), представляют какую-либо часть двумерного пространства разбивая его на 4 квадранта, субквадранты и так далее, причём каждый лист дерева соответствует определённой области. У каждого узла дерева либо 4 потомка, либо их нет вовсе (у листьев). Деревья квадрантов, разбивающие пространство, не являются деревьями в полной мере, поскольку положение субквадрантов не зависит от данных. Более правильное название — префиксные деревья (Шаблон:Lang-en).

Дерево высоты n может быть использовано для представления изображения, состоящего из 2n × 2n пикселей, где каждый пиксель имеет значение 0 или 1. Корень дерева представляет всю область изображения. Если не все пиксели только нули или только единицы, она разбивается. В этом случае каждый лист соответствует множеству пикселей — либо только из нулей, либо только из единиц.

Деревья квадрантов, разбивающие пространство, также могут быть использованы для представления переменного разрешения какого-либо набора данных. Например, информация о температуре может храниться в виде дерева квадрантов, каждый узел которого хранит среднюю температуру дочерних узлов.

Если дерево используется для представления множества точек (например, широты и долготы положений каких-либо городов), области разбиваются до тех пор, пока листья будут содержать не более одной точки.

Point quadtree

Деревья квадрантов, хранящие информацию о точках (Шаблон:Lang-en), — разновидность бинарных деревьев, используемых для хранения информации о точках на плоскости. Форма дерева зависит от порядка задания данных. Использование таких деревьев очень эффективно в сравнении упорядоченных точек плоскости, причём время обработки равно O(log n).

Структура узла

Узел дерева квадрантов, хранящего информацию о точках плоскости, аналогичен узлу бинарного дерева лишь с той оговоркой, что узел первого имеет четыре потомка (по одному на каждый квадрант) вместо двух («правого» и «левого»). Ключ узла состоит из двух компонент (для координат x и y). Таким образом, узел дерева содержит следующую информацию:

  • 4 указателя: quad[‘NW’], quad[‘NE’], quad[‘SW’], и quad[‘SE’],
  • точка, описываемая следующим образом:
    • ключ key, обычно выражает координаты x и y,
    • значение value, например, имя.

Edge quadtree

Деревья квадрантов, хранящие информацию о линиях (Шаблон:Lang-en), используются для описания прямых и кривых. Кривые описываются точными приближениями путём разбиения ячеек на очень мелкие. Это может привести к разбалансировке дерева, что будет означать проблемы с индексацией.

Polygonal map quadtree

Деревья квадрантов, хранящие информацию о многоугольниках (Шаблон:Lang-en), могут содержать информацию о полигонах, в том числе и о вырожденных (имеющих изолированные вершины или грани)[1].

Варианты использования

Деревья квадрантов являются двухмерным аналогом деревьев октантов (Шаблон:Lang-en).

Псевдокод

Следующий код демонстрирует использование деревьев квадрантов для хранения информации о точках. Возможны и другие подходы к построению.

Структуры данных

Предполагается использование следующих структур данных. 

// Простая структура для представления точки или вектора
struct XY
{
  float x;
  float y;

  function __construct(float _x, float _y) {...}
}

// Ограничивающий параллелепипед, выровненный по координатным осям
// (axis-aligned bounding box, AABB), половинной размерности с центром
struct AABB
{
  XY center;
  XY halfDimension;

  function __construct(XY center, XY halfDimension) {...}
  function containsPoint(XY p) {...}
  function intersectsAABB(AABB other) {...}
}

Класс QuadTree

Класс представляет собственно 4-дерево и корневой узел. 

class QuadTree
{
  // Константа — количество элементов, которые можно хранить в одном узле
  constant int QT_NODE_CAPACITY = 4;

  // Ограничивающий параллелепипед, выровненный по координатным осям,
  // показывает границы дерева
  AABB boundary;

  // Точки
  Array of XY [size = QT_NODE_CAPACITY] points;

  // Потомки
  QuadTree* northWest;
  QuadTree* northEast;
  QuadTree* southWest;
  QuadTree* southEast;

  // Методы
  function __construct(AABB _boundary) {...}
  function insert(XY p) {...}
  function subdivide() {...} // Создание 4 потомков, делящих квадрант на 4 равные части
  function queryRange(AABB range) {...}
}

Вставка

Следующий метод осуществляет вставку точки в соответствующий квадрант дерева, осуществляя разбиение, если это необходимо. 


class QuadTree {
 ...

  // Вставить точку
  function insert(XY p)
  {
    // Игнорировать объекты, не принадлежащие дереву
    if (!boundary.containsPoint(p))
      return false; // Объект не может быть добавлен

    // Если есть место, осуществить вставку 
    if (points.size < QT_NODE_CAPACITY)
    {
      points.append(p);
      return true;
    }

    // Далее необходимо разделить область и добавить точку в какой-либо узел
    if (northWest == null)
      subdivide();

    if (northWest->insert(p)) return true;
    if (northEast->insert(p)) return true;
    if (southWest->insert(p)) return true;
    if (southEast->insert(p)) return true;

    // По каким-то причинам вставка может не осуществиться (чего на самом деле не должно происходить)
    return false;
  }
}

Вхождение в диапазон

Следующий метод находит все точки, входящие в некоторый диапазон. 

class QuadTree
{
  ...

  // Найти точки, входящие в диапазон
  function queryRange(AABB range)
  {
    // Подготовить массив под результат
    Array of XY pointsInRange;

    // Отмена, если диапазон не совпадает с квадрантом
    if (!boundary.insersectsAABB(range))
      return pointsInRange; // Пустой список

    // Проверить объекты текущего уровня
    for (int p := 0; p < points.size; p++)
    {
      if (range.containsPoint(points[p]))
        pointsInRange.append(points[p]);
    }

    // Остановка, если больше нет потомков
    if (northWest == null)
      return pointsInRange;

    // Добавить все точки потомков
    pointsInRange.appendArray(northWest->queryRange(range));
    pointsInRange.appendArray(northEast->queryRange(range));
    pointsInRange.appendArray(southWest->queryRange(range));
    pointsInRange.appendArray(southEast->queryRange(range));

    return pointsInRange;
  }
}

См. также

Ссылки

Примечания

Шаблон:Reflist

Источники

  1. Шаблон:Статья
  2. Шаблон:Книга Chapter 14: Quadtrees: pp. 291–306.
  3. Шаблон:Cite web

Внешние ссылки


Шаблон:Деревья (структуры данных)

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Hanan Samet and Robert Webber. “Storing a Collection of Polygons Using Quadtrees”. ACM Transactions on Graphics July 1985: 182-222. InfoLAB. Web. 23 March 2012
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Henning Eberhardt, Vesa Klumpp, Uwe D. Hanebeck, Density Trees for Efficient Nonlinear State Estimation, Proceedings of the 13th International Conference on Information Fusion, Edinburgh, United Kingdom, July, 2010.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Дерево_квадрантов&oldid=9714383