Русская Википедия:Деривационные формулы Вайнгартена
Деривационные формулы ВайнгартенаШаблон:R дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности в терминах первых производных радиус-вектора этой поверхности. Эти формулы выведены в 1861 году германским математиком Юлиусом ВайнгартеномШаблон:Sfn.
Утверждение в классической дифференциальной геометрии
Пусть S будет поверхностью в трёхмерном евклидовом пространстве, которая параметризована радиус-вектором <math>\mathbf{r}(u, v)</math> поверхности. Пусть <math>P = P(u, v)</math> будет фиксированной точкой на поверхности. Тогда
- <math> \mathbf{r}_{u} = \frac {\partial \mathbf{r}} {\partial u}, \quad \mathbf{r}_{v} = \frac {\partial \mathbf{r}} {\partial v}</math>
являются двумя касательными векторами в точке P.
Пусть n будет единичным вектором нормали и пусть <math>(E, F, G)</math> и <math>(L, M, N) </math> будут коэффициентами первой и второй квадратичных форм этой поверхности соответственно. Дифференциальные формулы Вайнгартена дают первую производную единичного вектора нормали n в точке P в терминах касательных векторов <math>\mathbf{r}_u</math> и <math>\mathbf{r}_v</math>:
- <math>\mathbf{n}_u = \frac {FM-GL} {EG-F^2} \mathbf{r}_u + \frac {FL-EM} {EG-F^2} \mathbf{r}_v </math>
- <math>\mathbf{n}_v = \frac {FN-GM} {EG-F^2} \mathbf{r}_u + \frac {FM-EN} {EG-F^2} \mathbf{r}_v </math>
Эти уравнения можно выразить компактно
- <math>\partial_a \mathbf{n} = K_a^{~b} \mathbf{r}_{b} </math>,
где Kab являются компонентами тензора кривизны поверхности.
Примечания
Литература
- Шаблон:MathWorld
- Springer Encyclopedia of Mathematics, Weingarten derivational formulas
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга, section 45.
- Шаблон:Статья
