Русская Википедия:Десятичная дробь

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Примеры десятичных дробей.png

Примеры конечных десятичных дробей

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

<math>\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots</math>

где

<math>\pm</math> — знак дроби: либо <math>+</math>, либо <math>-</math>,

<math>,</math> — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (стандарт стран СНГ),

<math>d_k</math> — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:

• <math>123{,}45</math> (конечная десятичная дробь)
• Представление числа <math>\pi</math> в виде бесконечной десятичной дроби: <math>3{,}1415926535897...</math>

Значением десятичной дроби <math>\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_{-1} d_{-2} \ldots</math> является действительное число

<math>\pm \left (d_m \cdot 10^m + \ldots + d_1 \cdot 10^1 + d_0 \cdot 10^0 + d_{-1} \cdot 10^{-1} + d_{-2} \cdot 10^{-2} + \ldots \right ),</math>

равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид

<math>\pm d_m \ldots d_1 d_0,</math>

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Конечные дроби

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

<math>\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n</math>

В соответствии с определением эта дробь представляет число

<math>\pm \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot 10^{-k}</math>

Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида <math>p/10^{s}</math>, знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида <math>p/10^{s}</math>, где <math>p</math> — целое, а <math>s</math> — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь <math>p/10^{s}</math> привести к несократимому виду, её знаменатель будет иметь вид <math>2^{m} 5^{n}</math>. Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.

Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью <math>p/q</math> знаменатель <math>q</math> не имеет простых делителей, отличных от <math>2</math> и <math>5</math>.

Бесконечные дроби

Бесконечная десятичная дробь

<math>\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots</math>

представляет, согласно определению, действительное число

<math>\pm \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>

Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное <math>a_0</math> и десятичные цифры <math>a_1, a_2, \ldots</math>. Это предложение вытекает из того факта, что последовательность его частичных сумм (если отбросить знак дроби) ограничена сверху числом <math>a_0+1</math> (см. критерий сходимости знакоположительных рядов).

Представление действительных чисел десятичными дробями

Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:

1. Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
2. Единственно ли такое представление?
3. Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?

Эти вопросы освещаются ниже.

Алгоритм разложения числа в десятичную дробь

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу <math>\alpha</math> десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай <math>\alpha \geqslant 0</math>. Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок <math>I_0</math>, который содержит точку <math>\alpha</math>; в частном случае, когда точка <math>\alpha</math> является концом двух соседних отрезков, в качестве <math>I_0</math> выберем правый отрезок.

Файл:Числовая прямая, разделенная целочисленными точками.png

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка <math>I_0</math>, через <math>a_0</math>, то можно записать:

<math>I_0 = [a_0 \, ; \, a_0 + 1]</math>

На следующем шаге разделим отрезок <math>I_0</math> на десять равных частей точками

<math>a_0 + b/10, \; b = 1, \ldots, 9</math>

и рассмотрим тот из отрезков длины <math>1/10</math>, на котором лежит точка <math>\alpha</math>; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Файл:Построение десятичного представления числа, этап 1.png

Обозначим этот отрезок <math>I_1</math>. Он имеет вид:

<math>I_1 = \left [ a_0 + \frac{a_1}{10} \, ; \, a_0 + \frac{a_1 + 1}{10} \right ]</math>

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки <math>\alpha</math>.

На очередном шаге, имея отрезок <math>I_{n-1}</math>, содержащий точку <math>\alpha</math>, мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок <math>I_{n}</math>, на котором лежит точка <math>\alpha</math>; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков <math>I_0, I_1, \ldots</math> вида

<math>I_n = \left [ a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} \, ; \, a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} + \frac{1}{10^n} \right]</math>

где <math>a_0</math> — целое неотрицательное, а <math>a_1, a_2, \ldots</math> — целые числа, удовлетворяющие неравенству <math>0 \leqslant a_k \leqslant 9</math>.

Построенная последовательность отрезков <math>I_0, I_1, \ldots</math> обладает следующими свойствами:

• Отрезки последовательно вложены друг в друга: <math>I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \ldots</math>
• Длина отрезков <math>|I_n| = 10^{-n}, \; n = 0, 1, 2, \ldots</math>
• Точка <math>\alpha</math> принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что <math>I_0, I_1, \ldots</math> есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при <math>n \to \infty</math>, а точка <math>\alpha</math> есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке <math>\alpha</math> (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

<math>a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} \to \alpha</math> при <math>n\to \infty</math>

Это значит, что ряд

<math>\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>

сходится к числу <math>\alpha</math>, и таким образом, десятичная дробь

<math>a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots</math>

является представлением числа <math>\alpha</math>. Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа <math>\alpha</math> в десятичную дробь.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид

<math>a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots</math>

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка <math>\alpha</math> совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

<math>\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>

нулевые слагаемые, получим, что число <math>\alpha</math> также может быть представлено конечной десятичной дробью

<math>a_0{,} a_1 \ldots a_n</math>

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число <math>\alpha</math> может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного <math>\alpha</math>. В случае отрицательного <math>\alpha</math>, в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

О роли аксиомы Архимеда

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое <math>a_0</math>, такое, что действительное число <math>\alpha</math> находится между <math>a_0</math> и следующим целым <math>a_0 + 1</math>:

<math>a_0 \leqslant \alpha < a_0 + 1, \; a_0 \in \mathbb{Z}</math>

Однако существование такого целого числа <math>a_0</math> надо ещё доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое <math>n</math>, всегда имеет место неравенство <math>n \leqslant \alpha</math>. Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа <math>a_0</math> не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число <math>\alpha</math>, всегда найдётся целое <math>n</math> такое, что <math>n > \alpha</math>. Теперь среди чисел <math>k= 1, \ldots, n</math> возьмём наименьшее, обладающее свойством <math>k > \alpha</math>. Тогда

<math>k - 1 \leqslant \alpha < k</math>

Искомое число найдено: <math>a_0 = k-1</math>.

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности <math>I_0, I_1, I_2, \ldots</math>:

<math>\lim_{n \to \infty} 10^{-n} = 0</math>

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

<math>\lim_{n \to \infty} 10^{n} = \infty</math>

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число <math>E >0</math>, последовательность натуральных чисел <math>1, 2, \ldots</math> превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого <math>n</math> имеет место неравенство

<math>10^n > n</math>

то последовательность <math>10^n</math> также превзойдёт <math>E</math>, начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что <math>\lim_{n \to \infty} 10^{n} = \infty</math>.

Неоднозначность представления в виде десятичной дроби

Шаблон:См. также С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа <math>\alpha</math> построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число <math>\alpha</math> может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь

<math>0{,}99\ldots</math>

Согласно определению, эта дробь является представлением числа <math>0 + 9/10 + 9/100 + \ldots = 1</math>. Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби <math>1{,}00\ldots</math>. В самом деле, вещественные числа <math>a,b</math> различны тогда и только тогда, когда между ними можно вставить ещё одно вещественное число, не совпадающее с самими <math>a,b.</math> Но между <math>0{,}99\ldots</math> и <math>1{,}00\ldots</math> никакого третьего числа вставить нельзя.

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

<math>\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots</math>

и

<math>\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000</math>

где <math>a_n \neq 9</math>, представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей <math>+ 0{,}00 \ldots</math> и <math>- 0{,}00 \ldots</math>.

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число <math>\alpha</math>, не представимое в виде <math>p/10^s</math>, где <math>p</math> — целое, <math>s</math> — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида <math>\alpha = p/10^s</math> может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если <math>\alpha \neq 0</math>, то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на <math>999 \ldots</math>. Число <math>\alpha = 0</math> может быть представлено дробями вида <math>+0{,}00 \ldots</math>, а также дробями вида <math>-0{,}00 \ldots</math>.

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на <math>999\ldots</math>, получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Лишние нули и погрешность

Следует отметить, что, с точки зрения приближённых вычислений, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна половине единицы последнего выписанного разряда, т.е. число получено в соответствии с правилами округления. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна 0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна 0,0005. Другие примеры:

• «25» — абсолютная погрешность равна 0,5 (также такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
• «2,50∙10⁴» — абсолютная погрешность равна 50;
• «25,00» — абсолютная погрешность равна 0,005.

Периодические десятичные дроби

Определение и свойства

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

<math>\pm a_0, a_1 \ldots a_m \underbrace{b_1 \ldots b_l} \underbrace{b_1 \ldots b_l} \ldots</math>

Такую дробь принято кратко записывать в виде

<math>\pm a_0, a_1 \ldots a_m ( b_1 \ldots b_l )</math>

Повторяющаяся группа цифр <math>b_1 \ldots b_l</math> называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь <math>1{,}(23) = 1{,}2323 \ldots</math> является чистой периодической, а дробь <math>0{,}1(23)=0{,}12323 \ldots</math> — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби <math>p/q</math> знаменатель <math>q</math> не имеет простых делителей <math>2</math> и <math>5</math>, а также рациональным числам <math>p/q</math>, у которых знаменатель <math>q</math> имеет только простые делители <math>2</math> и <math>5</math>. Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям <math>p/q</math>, знаменатель <math>q</math> которых имеет как простые делители <math>2</math> или <math>5</math>, так и отличные от них.

Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь <math>x=0{,}(1998)</math> с периодом 4. Заметим, что домножив её на <math>10^4 = 10000</math>, получим большую дробь <math>10000x=1998{,}(1998)</math> с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть (<math>1998</math>), на которую увеличилась дробь после её умножения, получаем исходную дробь (<math>x</math>):
<math>10000x-1998=x</math>
<math>\Rightarrow</math>
<math>10000x-x=1998</math>
<math>\Rightarrow</math>
<math>x=\frac{1998}{9999}=\frac{222}{1111}</math>

Произношение десятичных дробей

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т.д.).

Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.

Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи. Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.

Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять — сорок пять).

Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде. Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.

История

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.

Тимуридский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше.

В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. Но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

См. также

• Десятичный разделитель
• Десятичная система счисления
• Обыкновенная дробь
• Непрерывная дробь

Ссылки

• ЕГЭ математика. Периодическая дробь
• Задачи по теме «обыкновенные и десятичные дроби»
• Семёнова Л. Периодические дроби.