Русская Википедия:Длина модуля
Длина модуля — способ измерения «размера» модуля, обобщающий понятие размерности векторного пространства. Длина определяется как максимальная длина цепочки вложенных подмодулей.
Определение
Пусть M — (левый или правый) модуль над кольцом R. Мы говорим что длина цепочки его подмодулей вида
- <math>N_0\subsetneq N_1 \subsetneq \cdots \subsetneq N_n</math>
равна n, то есть считаем число строгих включений, а не число подмодулей. Длина модуля M — это наибольшая длина цепочки среди всех цепочек его подмодулей. Если наибольшей длины цепочки не существует, длина M равна бесконечности.
Примеры
- Единственный модуль длины 0 — нулевой модуль. Модули длины 1 называются простыми.
- Для конечномерного векторного пространства длина совпадает с размерностью.
- Длина циклической группы <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math> равна числу множителей в разложении n на простые.
Свойства
Модуль имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он является артиновым и нётеровым.
Пусть
- <math>0\rarr L \rarr M \rarr N \rarr 0</math>
является короткой точной последовательностью модулей. В этом случае M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда L и N имеют конечную длину, причём длина M равна сумме их длин. В частности, длина прямой суммы модулей равна сумме длин компонент.
Литература
- Steven H. Weintraub, Representation Theory of Finite Groups AMS (2003) — ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6
- Barile, Margherita. Module Length на сайте Wolfram MathWorld.
