Русская Википедия:Длинная линия
Шаблон:TOCrightДлинная линия — модель линии передачи, продольный размер (длина) которой превышает длину волны, распространяющейся в ней (либо сравнима с длиной волны), а поперечные размеры (например, расстояние между проводниками, образующими линию) значительно меньше длины волны.
С точки зрения теории электрических цепей длинная линия относится к четырёхполюсникам. Характерной особенностью длинной линии является проявление интерференции двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из этих волн создается подключенным ко входу линии генератором электромагнитных колебаний и называется падающей. Другая волна называется отражённой и возникает из-за частичного отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к выходу (противоположному генератору концу) линии. Всё разнообразие колебательных и волновых процессов, происходящих в длинной линии, определяется соотношениями амплитуд и фаз падающей и отраженной волн. Анализ процессов упрощается, если длинная линия является регулярной, то есть такой, у которой в продольном направлении неизменны поперечное сечение и электромагнитные свойства (εr, μr, σ) заполняющих сред[1].
Дифференциальные уравнения длинной линии
Первичные параметры
Из электродинамики известно, что линия передачи может быть охарактеризована её погонными параметрами:
- R1 — погонное сопротивление металла проводов, Ом/м;
- G1 — паразитная, параллельная(источник термина ) погонная(продольная, аддитивная) проводимость диэлектрика линии,1/Ом·м или См/м; ,- погонная вдоль линии, ортогонально токам утечки через диэлектрик, в противовес g[Cм·м] - проводимости погонной,приведённой к единице длины паразитного тока, текущего через диэлектрик линии(поперечно-погонной проводимости изолятора линии)!
- L1 — погонная индуктивность Гн/м;
- C1 — погонная ёмкость Ф/м;
- <math>Z_1 = R_1 + i\omega L_1</math>
- <math>Y_1 = G_1 + i\omega C_1</math>
Погонные сопротивление и проводимость G1 зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода, соответственно. Согласно закону Джоуля — Ленца, чем меньше тепловые потери в металле проводов и в диэлектрике, тем меньше погонное сопротивление металла R1 и меньше погонная проводимость диэлектрика G1. (Уменьшение активных потерь в диэлектрике означает увеличение его сопротивления, так как активные потери в диэлектрике — это токи утечки. Для модели используется обратная величина — погонная проводимость G1.)
Погонные индуктивность L1 и ёмкость C1 определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.
А <math>Z_1</math> и <math>Y_1</math> — погонные комплексные сопротивление и проводимость линии, зависящие от частоты <math>\omega</math>.
Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины dz и рассмотрим его эквивалентную схему.
Эквивалентная схема участка длинной линии
Значения параметров схемы определяются соотношениями:
\begin{cases} dR = R_1dz;\\ dG = G_1dz;\\ dL = L_1dz;\\ dC = C_1dz;\\ \end{cases} </math> |
(1) |
Используя эквивалентную схему, запишем выражения для приращений напряжения и тока:
- <math>\begin{cases}dU = -I(dR + i\omega dL)\\ dI = -U(dG + i\omega dC)\\\end{cases}</math>
Подставляя сюда значения параметров схемы из (1), получаем:
- <math>\begin{cases}dU = -IZ_1dz\\ dI = -UY_1dz\\\end{cases}</math>
Из последних соотношений находим дифференциальные уравнения линии. Эти уравнения определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии и называются телеграфными уравнениями длинной линии:
Телеграфные уравнения
\begin{cases} \frac{dU}{dz} = -IZ_1\\ \frac{dI}{dz} = -UY_1\\ \end{cases} </math> |
(2) |
Следствия
Решим телеграфные уравнения относительно напряжения и тока. Для этого продифференцируем их по z:
\begin{cases} \frac{d^2U}{dz^2} = -\frac{dI}{dz}Z_1\\ \frac{d^2I}{dz^2} = -\frac{dU}{dz}Y_1\\ \end{cases} </math> |
(3) |
При этом учтем условие регулярности линии:
Условие регулярности линии
\begin{cases} \frac{dZ_1}{dz} = 0\\ \frac{dY_1}{dz} = 0\\ \end{cases} </math> |
(4) |
Данные соотношения являются математическим определением регулярности длинной линии. Смысл соотношения (4) состоит в неизменности вдоль линии её погонных параметров.
Подставляя в (3) значения производных напряжения и тока из (2), после преобразований получаем:
Однородные волновые уравнения длинной линии
\begin{cases} \frac{d^2U}{dz^2} - \gamma^2U = 0\\ \frac{d^2I}{dz^2} - \gamma^2I= 0\\ \end{cases} </math>, |
(5) |
где <math>\gamma = \sqrt{Z_1Y_1}</math> — коэффициент распространения волны в линии.
Соотношения (5) называются однородными волновыми уравнениями длинной линии. Их решения известны и могут быть записаны в виде:
\begin{cases} U = B_Ue^{\gamma z}+A_Ue^{-\gamma z}\\ I = B_Ie^{\gamma z}+A_Ie^{-\gamma z}\\ \end{cases} </math>, |
(6) |
где AU, BU и AI, BI — коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно, смысл которых будет ясен ниже.
Решения волновых уравнений в виде (6) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой отраженную волну напряжения или тока, распространяющуюся от нагрузки к генератору, второе слагаемое — падающую волну, распространяющуюся от генератора к нагрузке. Таким образом, коэффициенты AU, AI представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты BU, BI — комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно. Так как часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, то амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:
- <math>|B_U|\leqslant |A_U| </math>
- <math>|B_I|\leqslant |A_I| </math>
Направление распространения волн в (6) определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс — волна распространяется в отрицательном направлении оси z; минус — в положительном направлении оси z (см. рис. 1). Так, например, для падающих волн напряжения и тока можно записать:
|
(7) |
Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:
|
(8) |
где α — коэффициент затухания волны[2] в линии; β — коэффициент фазы[3]. Тогда соотношение (7) можно переписать в виде:
\begin{cases} U_\Pi = A_Ue^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\ I_\Pi = A_Ie^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\ \end{cases} </math>. |
(9) |
Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии λЛ фаза волны изменяется на 2π, то коэффициент фазы можно связать с длиной волны λЛ соотношением
|
(10) |
При этом фазовая скорость волны в линии VФ определяется через коэффициент фазы:
|
(11) |
Определим коэффициенты A и B, входящие в решения (6) волновых уравнений, через значения напряжения UН и тока IН на нагрузке. Это является оправданным, так как напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов. Воспользуемся первым из телеграфных уравнений (2) и подставим в него напряжение и ток из (6). Тогда получим:
- <math>A_U\gamma e^{-\gamma z} - B_U\gamma e^{\gamma z} = Z_1( A_Ie^{-\gamma z} + B_Ie^{\gamma z})</math>
Сравнив коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степеней, получим:
<math> \begin{cases} A_I = \frac{A_U}{W}\\ B_I = -\frac{B_U}{W}\\ \end{cases} </math>, |
(12) |
где <math>W = \sqrt{\frac{Z_1}{Y_1}}</math> — волновое сопротивление линии[4].
Перепишем (6) с учётом (12):
<math> \begin{cases} U = A_Ue^{-\gamma z} + B_Ue^{\gamma z}\\ I = \frac{A_Ue^{-\gamma z} - B_Ue^{\gamma z}}{W}\\ \end{cases} </math>. |
(13) |
Для определения коэффициентов A и B в этих уравнениях воспользуемся условиями в начале линии z = 0:
- <math>
\begin{cases} U(z = 0) = U_H\\ I(z = 0) = I_H\\ \end{cases} </math>.
Тогда из (13) при z = 0 найдем
<math> \begin{cases} A_U = \tfrac{1}{2}(U_H + I_HW)\\ B_U = \tfrac{1}{2}(U_H - I_HW)\\ \end{cases} </math>, |
(14) |
Подставив полученные значения коэффициентов из (14) в (13), после преобразований получим:
<math> \begin{cases} U = U_H\operatorname{ch}(\gamma z) - I_HW\operatorname{sh}(\gamma z)\\ I = I_H\operatorname{ch}(\gamma z) - \frac{U_H}{W}\operatorname{sh}(\gamma z)\\ \end{cases} </math>. |
(15) |
При выводе (15) учтены определения гиперболических синуса и косинуса[5].
Соотношения для напряжения и тока (15) так же, как и (6), являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит в том, что напряжение и ток в линии в соотношении (6) определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в (15) — через напряжение и ток на нагрузке.
Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии определяются только падающей волной, а отраженная волна отсутствует[6]. Тогда в (6) следует положить BU = 0, BI = 0:
- <math>
\begin{cases} U = A_Ue^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\ I = A_Ie^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\ \end{cases} </math>.
Распределение поля падающей волны
На рис.3. представлены эпюры изменения амплитуды |U| и фазы φU напряжения вдоль линии. Эпюры изменения амплитуды и фазы тока имеют такой же вид. Из рассмотрения эпюр следует, что при отсутствии в линии потерь (α[2] = 0) амплитуда напряжения в любом сечении линии остается одной и той же. При наличии потерь в линии (α[2] > 0) часть переносимой мощности преобразуется в тепло (нагревание проводов линии и окружающего их диэлектрика). По этой причине амплитуда напряжения падающей волны экспоненциально убывает в направлении распространения.
Фаза напряжения падающей волны φU = β z изменяется по линейному закону и уменьшается по мере удаления от генератора.
Рассмотрим изменение амплитуды и фазы, например, напряжения при наличии падающей и отраженной волн. Для упрощения положим, что потери в линии отсутствуют, то есть α[2] = 0. Тогда напряжение в линии можно представить в виде:
<math>U = A_Ue^{-i\beta z} + B_Ue^{i\beta z} = A_U(e^{-i\beta z} + \Gamma e^{i\beta z})</math>, | (16) |
где <math>\Gamma = B_U / A_U</math> — комплексный коэффициент отражения по напряжению.
Комплексный коэффициент отражения по напряжению
Характеризует степень согласования линии передачи с нагрузкой. Модуль коэффициента отражения изменяется в пределах: <math>0 \leqslant |\Gamma | \leqslant 1</math>
- | Г | = 0, если отражения от нагрузки отсутствуют и BU = 0[6];
- | Г | = 1, если волна полностью отражается от нагрузки, то есть <math>|A_U| = |B_U|</math>;
Соотношение (16) представляет собой сумму падающей и отраженной волн.
Отобразим напряжение на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы, каждый из векторов которой определяет падающую, отраженную волны и результирующее напряжение (рис. 4). Из диаграммы видно, что существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в фазе. Напряжение в этих сечениях достигает максимума, величина которого равна сумме амплитуд падающей и отраженной волн:
- <math>U_{max} = |A_U|+|B_U|</math>.
Кроме того, существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в противофазе. При этом напряжение достигает минимума:
- <math>U_{min} = |A_U|-|B_U|</math>.
Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г| = 1, то есть амплитуда падающей и отраженной волн равны |BU| = |AU|, то в этом случае Umax = 2|AU|, а Umin = 0.
Напряжение в такой линии изменяется от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. На рис. 5 представлены эпюры изменения амплитуды и фазы напряжения вдоль линии при наличии отраженной волны.
Коэффициенты бегущей и стоячей волны
По эпюре напряжения судят о степени согласования линии с нагрузкой. Для этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны — kБВ и коэффициента стоячей волны kСВ:
|
(17) |
|
(18) |
Эти коэффициенты, судя по определению, изменяются в пределах:
|
|
На практике наиболее часто используется понятие коэффициента стоячей волны, так как современные измерительные приборы (панорамные измерители kСВ) на индикаторных устройствах отображают изменение именно этой величины в определенной полосе частот.
Входное сопротивление длинной линии
Входное сопротивление линии является важной характеристикой, которое определяется в каждом сечении линии как отношение напряжения к току в этом сечении:
| |
|
(19) |
Так как напряжение и ток в линии изменяются от сечения к сечению, то и входное сопротивление линии изменяется относительно её продольной координаты z. При этом говорят о трансформирующих свойствах линии, а саму линию рассматривают как трансформатор сопротивлений. Подробнее свойство линии трансформировать сопротивления будет рассмотрено ниже.
Режимы работы длинной линии
Различают три режима работы линии:
Режим бегущей волны
Режим бегущей волны характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме BU = 0, | Г | = 0, kсв = kбв = 1[7].
Режим стоячей волны
Режим стоячей волны характеризуется тем, что амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей BU = AU то есть энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается обратно в генератор. В этом режиме, | Г | = 1, kсв = <math>\infty</math>, kбв = 0[7].
Режим смешанных волн
В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны удовлетворяет условию 0 < BU < AU то есть часть мощности падающей волны теряется в нагрузке, а остальная часть в виде отраженной волны возвращается обратно в генератор. При этом 0 < | Г | < 1, 1 < kсв < <math>\infty</math>, 0 < kбв < 1
Линия без потерь
В линии без потерь погонные параметры R1 = 0 и G1 = 0. Поэтому для коэффициента распространения γ и волнового сопротивления W получим:
|
(20) |
С учётом этого выражения для напряжения и тока (15) примут вид:
\begin{matrix} U = U_H\cos(\beta z) & + & iI_HW\sin(\beta z) \\ I = I_H\cos(\beta z) & + & i\tfrac{U_H}{W}\sin(\beta z) \end{matrix} </math> |
(21) |
При выводе этих соотношений учтены особенности[8] гиперболических функций[5].
Рассмотрим конкретные примеры работы линии без потерь на простейшие нагрузки.
Разомкнутая линия
В этом случае ток, протекающий через нагрузку равен нулю (IН = 0), поэтому выражения для напряжения, тока и входного сопротивления в линии принимают вид:
|
(22) |
На рис.6 эти зависимости проиллюстрированы графически. Из соотношений (22) и графиков следует:
- в линии, разомкнутой на конце, устанавливается режим стоячей волны, напряжение, ток и входное сопротивление вдоль линии изменяются по периодическому закону с периодом λЛ/2;
- входное сопротивление разомкнутой линии является чисто мнимым за исключением точек с координатами z = nλЛ/4, n = 0,1,2,…;
- если длина разомкнутой линии меньше λЛ/4, то такая линия эквивалентна ёмкости;
- разомкнутая на конце линия длиной λЛ/4 эквивалентна последовательному резонансному на рассматриваемой частоте контуру и имеет нулевое входное сопротивление;
- линия, длина которой лежит в интервале от λЛ/4 до λЛ/2, эквивалентна индуктивности;
- разомкнутая на конце линия длиной λЛ/2 эквивалентна параллельному резонансному контуру на рассматриваемой частоте и имеет бесконечно большое входное сопротивление.
Замкнутая линия
В этом случае напряжение на нагрузке равно нулю (UН = 0), поэтому напряжение, ток и входное сопротивление в линии принимают вид:
|
(23) |
На рис.7 эти зависимости проиллюстрированы графически.
Используя результаты предыдущего раздела, нетрудно самостоятельно сделать выводы о трансформирующих свойствах короткозамкнутой линии. Отметим лишь, что в замкнутой линии также устанавливается режим стоячей волны. Отрезок короткозамкнутой линии, длиной меньше λЛ/4 имеет индуктивный характер входного сопротивления, а при длине λЛ/4 такая линия имеет бесконечно большое входное сопротивление на рабочей частоте[9].
Ёмкостная нагрузка
Как следует из анализа работы разомкнутой линии, каждой ёмкости C на данной частоте ω можно поставить в соответствие отрезок разомкнутой линии длиной меньше λЛ/4. Ёмкость C имеет ёмкостное сопротивление <math>iX_C = -\tfrac{i}{\omega C}</math>. Приравняем величину этого сопротивления к входному сопротивлению разомкнутой линии длиной l < λЛ/4:
- <math>-\tfrac{i}{\omega C} = -iW\operatorname{ctg}(\beta l)</math>.
Отсюда находим длину линии, эквивалентную по входному сопротивлению ёмкости C:
- <math>l = \tfrac{1}{\beta}\operatorname{arctg}(\omega CW)</math>.
Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления разомкнутой линии, восстанавливаем их для линии, работающей на ёмкость (рис.8). Из эпюр следует, что в линии, работающей на ёмкость, устанавливается режим стоячей волны.
При изменений ёмкости эпюры сдвигаются вдоль оси z. В частности, при увеличении ёмкости ёмкостное сопротивление уменьшается, напряжение на ёмкости падает и все эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам, соответствующим короткозамкнутой линии. При уменьшении ёмкости эпюры сдвигаются влево, приближаясь к эпюрам, соответствующим разомкнутой линии.
Индуктивная нагрузка
Как следует из анализа работы замкнутой линии, каждой индуктивности L на данной частоте ω можно поставить в соответствие отрезок замкнутой линии длиной меньше λЛ/4. Индуктивность L имеет индуктивное сопротивление iXЛ = iωL. Приравняем это сопротивление к входному сопротивлению замкнутой линии длиной λЛ/4:
- <math>i\omega L = iW\operatorname{tg}(\beta l)</math>.
Отсюда находим длину линии l, эквивалентную по входному сопротивлению индуктивности L:
- <math>l = \tfrac{1}{\beta}\operatorname{arctg}(\omega\tfrac{L}{W})</math>.
Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления замкнутой на конце линии, восстанавливаем их для линии, работающей на индуктивность (рис. 9). Из эпюр следует, что в линии, работающей на индуктивность, также устанавливается режим стоячей волны. Изменение индуктивности приводит к сдвигу эпюр вдоль оси z. Причем с увеличением L эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам холостого хода, а с уменьшением L — влево по оси z, стремясь к эпюрам короткого замыкания.
Активная нагрузка
В этом случае ток и напряжение на нагрузке RН связаны соотношением UН = IНRН[10]. Выражения для напряжения и тока в линии (21) принимают вид:
|
(23) |
Рассмотрим работу такой линии на примере анализа напряжения. Найдем из (23) амплитуду напряжения в линии:
|
(24) |
Отсюда следует, что можно выделить три случая:
- Сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению линии RН = W [6][7];
- Сопротивление нагрузки больше волнового сопротивления линии RН > W;
- Сопротивление нагрузки меньше волнового сопротивления линии RН < W.
В первом случае из (24) следует |U| = UН, то есть распределение амплитуды напряжения вдоль линии остается постоянным, равным амплитуде напряжения на нагрузке. Это соответствует режиму бегущей волны в линии.
Комплексная нагрузка
КПД линии с потерями
Пределы применимости теории длинной линии
См. также
Примечания
- ↑ ГОСТ 18238-72. Линии передачи сверхвысоких частот. Термины и определения.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Коэффициент затухания α определяет скорость уменьшения амплитуды волны при распространении вдоль линии.
- ↑ Коэффициент фазы β определяет скорость изменения фазы волны вдоль линии.
- ↑ Волновым сопротивлением линии передачи называется отношение напряжения к току в бегущей волне.
- ↑ 5,0 5,1 Гиперболические функции
- ↑ 6,0 6,1 6,2 Такая линия называется полностью согласованной.
- ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 Не реализуемо на практике. Является лишь математической абстракцией Возможно лишь приближение в той, или иной степени.
- ↑ <math>\operatorname{ch}(i\beta z)=\cos(\beta z)</math>, <math>\operatorname{sh}(i\beta z)=\sin(\beta z)</math>
- ↑ Это свойство короткозамкнутого четвертьволнового отрезка линии позволяет использовать его в практических устройствах как «металлический изолятор».
- ↑ Закон Ома