Случай известного среднего
Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> — независимая выборка из нормального распределения, где <math>\mu</math> — известное среднее. Определим произвольное <math>\alpha \in [0,1]</math> и построим <math>\alpha</math> — доверительный интервал для неизвестной дисперсии <math>\sigma^2</math>.
Утверждение. Случайная величина
- <math>H = \frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}</math>
имеет распределение <math>\chi^2(n)</math>. Пусть <math>\chi^2_{\alpha,n}</math> — <math>\alpha</math>-квантиль этого распределения. Тогда имеем:
- <math>\mathbb{P}\left(\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},n} \leqslant H \leqslant \chi^2_{\frac{\alpha}{2},n}\right) = 1-\alpha</math>.
После подстановки выражения для <math>H</math> и несложных алгебраических преобразований получаем:
- <math>\mathbb{P}\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},n}} \leqslant \sigma^2 \leqslant \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2},n}} \right) = 1-\alpha</math>.
Случай неизвестного среднего
Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> — независимая выборка из нормального распределения, где <math>\mu</math>, <math>\sigma^2</math> — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии <math>\sigma^2</math>.
Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина
- <math>H = \frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}</math>,
где <math>S^2</math> — несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение <math>\chi^2(n-1)</math>. Тогда имеем:
- <math>\mathbb{P}\left( \chi^2_{\frac{\alpha}{2},n-1} \leqslant H \leqslant\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}\right) =1-\alpha</math>.
После подстановки выражения для <math>H</math> и несложных алгебраических преобразований получаем:
- <math>\mathbb{P}\left( \frac{(n-1) S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}} \leqslant \sigma^2 \leqslant\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2},n-1}} \right) = 1-\alpha</math>.
Ссылки
Шаблон:Statistics-stub
Шаблон:Нет иллюстрации
Шаблон:Нет ссылок
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|