Русская Википедия:Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:К улучшению Доверительный интервал для математического ожидания — интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности.

Случай известной дисперсии

Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)</math> — независимая выборка из нормального распределения, где <math>\sigma^2</math> — известная дисперсия. Определим произвольное <math>\alpha \in [0,1]</math> и построим доверительный интервал для неизвестного среднего <math>\mu</math>.

Утверждение. Случайная величина

<math>Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}</math>

имеет стандартное нормальное распределение <math>\mathrm{N}(0,1)</math>. Пусть <math>z_{\alpha}</math> — это <math>\alpha</math>-квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

<math>\mathbb{P}\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}} \le Z \le z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) = 1-\alpha</math>.

После подстановки выражения для <math>Z</math> и несложных алгебраических преобразований получаем:

<math>\mathbb{P}\left( \bar{X} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math>.

Случай неизвестной дисперсии

Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)</math> — независимая выборка из нормального распределения, где <math>\mu,\sigma^2</math> — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего <math>\mu</math>.

Утверждение. Случайная величина

<math>T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}</math>,

где <math>S</math> — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с <math>n-1</math> степенями свободы <math>\mathrm{t}(n-1)</math>. Пусть <math>t_{\alpha,n-1}</math> — <math>\alpha</math>-квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

<math>\mathbb{P}\left(-t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1} \le T \le t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}\right) =1-\alpha</math>.

После подстановки выражения для <math>T</math> и несложных алгебраических преобразований получаем:

<math>\mathbb{P}\left( \bar{X} - t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math>.