Русская Википедия:Замкнутая геодезическая

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Замкнутая геодезическая на римановом многообразии — это геодезическая, которая образует простую замкнутую кривую. Её можно формализовать как проекцию замкнутой орбиты геодезического потока на касательное пространство многообразия.

Определение

В римановом многообразии (M,g) замкнутая геодезическая — это периодическая кривая <math>\gamma:\mathbb R\rightarrow M</math>, которая является геодезической для метрики g.

Замкнутые геодезические можно описать с помощью вариационного принципа. Если обозначить через <math>\Lambda M</math> пространство гладких 1-периодических кривых на M, замкнутые геодезические с периодом 1 — это в точности критические точки функции энергии <math>E:\Lambda M\rightarrow\mathbb R</math>, определённой формулой

<math>E(\gamma)=\int_0^1 g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,\mathrm{d}t.</math>

Если <math>\gamma</math> — замкнутая геодезическая с периодом p, перепараметризованная кривая <math>t\mapsto\gamma(pt)</math> является замкнутой геодезической с периодом 1, а потому она является критической точкой E. Если <math>\gamma</math> является критической точкой E, таковыми являются и перепараметризованные кривые <math>\gamma^m</math>, для любого <math>m\in\mathbb N</math>, определённые формулой <math>\gamma^m(t):=\gamma(mt)</math>. Тогда любая замкнутая геодезическая на M порождает бесконечную последовательность критических точек энергии E.

Примеры

На Шаблон:Не переведено 5 <math>S^n\subset\mathbb R^{n+1}</math> со стандартной круговой римановой метрикой любой большой круг является замкнутой геодезической. Таким образом, на сфере все геодезические замкнуты. На гладкой поверхности, топологически эквивалентной сфере, это может и не быть верным, но всегда существуют по меньшей мере три простые замкнутые геодезические. Это Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Многообразия, на которых все геодезические замкнуты, были тщательно исследованы в математической литературе. На компактной гиперболической поверхности, фундаментальная группа которой не имеет кручения, замкнутые геодезические один к одному соответствуют нетривиальным классам сопряжённости элементов в фуксовой группе поверхности.

См. также

• Укорачивающий поток
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Поверхность Цолля

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья