Русская Википедия:Знакопеременная группа
Материал из Онлайн справочника
Знакопеременная группа перестановок (подстановок) степени n — подгруппа симметрической группы <math>S_n</math> степени <math>n</math>, содержащая только чётные перестановки[1].
Обычно обозначается <math>A_n</math>.
Свойства
- Индекс подгруппы знакопеременной группы в симметрической равен 2:
- <math>[S_n:A_n] = 2.</math>
- Знакопеременная группа является нормальной подгруппой симметрической группы (следует из предыдущего утверждения).
- Порядок знакопеременной группы равен:
- <math>|A_n| = n!/2.</math>
- Знакопеременная группа является коммутантом симметрической группы: <math>[S_n,S_n] = A_n.</math>
- При <math>n\ge 5</math> знакопеременная группа <math>A_n</math> является простой.
- Знакопеременная группа разрешима тогда и только тогда, когда её порядок не больше 4. Точнее, <math>A_2=\{e\}, A_3\cong\mathbb{Z}_3, [A_4;A_4]\cong V_4</math> - четверной группе Клейна, а при <math>n\geqslant 5 \ [A_n; A_n]\cong A_n</math>.
- Группа <math>A_n</math> имеет представление
- <math>A_n = \langle s_3,...,s_n| (s_i)^3=1, (s_is_j)^2=1 (3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle</math>
- здесь <math>s_i\to (12i)</math>.
Примечания
