Русская Википедия:Иерархия Харди

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Иерархия Харди, предложенная английским математиком Годфри Харди в 1904 году, представляет собой семейство функций <math>(H_\alpha:\mathbb N\rightarrow\mathbb N)_{\alpha<\mu}</math>, где <math>\mu</math> – это некий большой счетный ординал, такой, что фундаментальные последовательности присвоены всем предельным ординалам, меньшим чем <math>\mu</math>. Иерархия Харди определяется следующим образом:

• <math>H_0(n)=n</math>
• <math>H_{\alpha+1}(n)=H_\alpha(n+1)</math>
• <math>H_\alpha(n)=H_{\alpha[n]}(n)</math>, если и только если <math>\alpha</math> – предельный ординал,

где <math>\alpha[n]</math> обозначает <math>n</math>-й элемент фундаментальной последовательности присвоенной предельному ординалу <math>\alpha</math>.

Каждый ненулевой ординал <math>\alpha<\varepsilon_0=\min\{\beta|\beta=\omega^\beta\}</math> может быть представлен в уникальной нормальной форме Кантора <math>\alpha=\omega^{\beta_{1}}+ \omega^{\beta_{2}}+\cdots+\omega^{\beta_{k-1}}+\omega^{\beta_{k}},</math> где <math>\omega</math> – первый трансфинитный ординал, <math>\alpha>\beta_1\geq\beta_2\geq\cdots\geq\beta_{k-1}\geq\beta_k</math>.

Если <math>\beta_k>0</math>, тогда <math>\alpha</math> – предельный ординал и ему может быть присвоена фундаментальная последовательность следующим образом:

<math>\alpha[n]=\omega^{\beta_{1}}+ \omega^{\beta_{2}}+\cdots+\omega^{\beta_{k-1}}+\left\{\begin{array}{lcr} \omega^\gamma n \text{, если } \beta_k=\gamma+1\\ \omega^{\beta_k[n]} \text{, если } \beta_k \text{ - предельный ординал.}\\ \end{array}\right.</math>

Если <math>\alpha=\varepsilon_0</math>, тогда <math>\alpha[0]=0</math> и <math>\alpha[n+1]=\omega^{\alpha[n]}</math>.

Используя эту систему фундаментальных последовательностей можно определить иерархию Харди до первого числа эпсилон <math>\varepsilon_0</math>.

Для <math>\alpha<\varepsilon_0</math> иерархия Харди соотносится с быстрорастущей иерархией согласно равенству

<math>H_{\omega^\alpha}(n)=f_\alpha(n)</math>

и при <math>\alpha=\varepsilon_0</math> иерархия Харди "догоняет" быстрорастущую иерархию, то есть

<math>f_{\varepsilon_0}(n-1) \le H_{\varepsilon_0}(n) \le f_{\varepsilon_0}(n+1)</math> для всех <math>n \geq 1</math>.

С более мощными системами фундаментальных последовательностей можно ознакомиться на следующих страницах:

• Функция Веблена
• Пси-функции Бухгольца

Для иерархии Харди также верно равенство <math>H_{\alpha+\beta}(n)=H_\alpha(H_\beta(n))</math>.

См. также

• Быстрорастущая иерархия
• Медленнорастущая иерархия

Ссылки

• Hardy,G.H. A theorem concerning the infinite cardinal numbers. Quarterly Journal of Mathematics (1904) vol.35 pp.87–94