In functional analysis and related areas of mathematics a dual topology is a locally convex topology on a vector space that is induced by the continuous dual of the vector space, by means of the bilinear form (also called pairing) associated with the dual pair.
The different dual topologies for a given dual pair are characterized by the Mackey–Arens theorem. All locally convex topologies with their continuous dual are trivially a dual pair and the locally convex topology is a dual topology.
Several topological properties depend only on the dual pair and not on the chosen dual topology and thus it is often possible to substitute a complicated dual topology by a simpler one.
Definition
Given a dual pair <math>(X, Y, \langle , \rangle)</math>, a dual topology on <math>X</math> is a locally convex topology <math>\tau</math> so that
- <math>(X, \tau)' \simeq Y.</math>
Here <math>(X, \tau)'</math> denotes the continuous dual of <math>(X,\tau)</math> and <math>(X, \tau)' \simeq Y</math> means that there is a linear isomorphism
- <math>\Psi : Y \to (X, \tau)',\quad y \mapsto (x \mapsto \langle x, y\rangle).</math>
(If a locally convex topology <math>\tau</math> on <math>X</math> is not a dual topology, then either <math>\Psi</math> is not surjective or it is ill-defined since the linear functional <math>x \mapsto \langle x, y\rangle</math> is not continuous on <math>X</math> for some <math>y</math>.)
Properties
- Theorem (by Mackey): Given a dual pair, the bounded sets under any dual topology are identical.
- Under any dual topology the same sets are barrelled.
Characterization of dual topologies
The Mackey–Arens theorem, named after George Mackey and Richard Arens, characterizes all possible dual topologies on a locally convex space.
The theorem shows that the coarsest dual topology is the weak topology, the topology of uniform convergence on all finite subsets of <math>X'</math>, and the finest topology is the Mackey topology, the topology of uniform convergence on all absolutely convex weakly compact subsets of <math>X'</math>.
Mackey–Arens theorem
Given a dual pair <math>(X, X')</math> with <math>X</math> a locally convex space and <math>X'</math> its continuous dual, then <math>\tau</math> is a dual topology on <math>X</math> if and only if it is a topology of uniform convergence on a family of absolutely convex and weakly compact subsets of <math>X'</math>
See also
References
Шаблон:Functional Analysis
Шаблон:DualityInLCTVSs
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|