In the mathematical discipline of graph theory, the edge space and vertex space of an undirected graph are vector spaces defined in terms of the edge and vertex sets, respectively. These vector spaces make it possible to use techniques of linear algebra in studying the graph.
Definition
Let <math>G:=(V,E)</math> be a finite undirected graph. The vertex space <math>\mathcal{V}(G)</math> of G is the vector space over the finite field of two elements
<math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}:=\lbrace 0,1 \rbrace</math> of all functions <math>V\rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>. Every element of <math>\mathcal{V}(G)</math> naturally corresponds the subset of V which assigns a 1 to its vertices. Also every subset of V is uniquely represented in <math>\mathcal{V}(G)</math> by its characteristic function. The edge space <math>\mathcal{E}(G)</math> is the <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>-vector space freely generated by the edge set E. The dimension of the vertex space is thus the number of vertices of the graph, while the dimension of the edge space is the number of edges.
These definitions can be made more explicit. For example, we can describe the edge space as follows:
- elements are subsets of <math>E</math>, that is, as a set <math>\mathcal{E}(G)</math> is the power set of E
- vector addition is defined as the symmetric difference: <math>P+Q:=P \triangle Q \qquad P,Q \in \mathcal{E}(G)</math>
- scalar multiplication is defined by:
- <math>0 \cdot P := \emptyset \qquad P \in \mathcal{E}(G)</math>
- <math>1 \cdot P := P \qquad P \in \mathcal{E}(G)</math>
The singleton subsets of E form a basis for <math>\mathcal{E}(G)</math>.
One can also think of <math>\mathcal{V}(G)</math> as the power set of V made into a vector space with similar vector addition and scalar multiplication as defined for <math>\mathcal{E}(G)</math>.
Properties
The incidence matrix <math>H</math> for a graph <math>G</math> defines one possible linear transformation
- <math>H:\mathcal{E}(G) \to \mathcal{V}(G)</math>
between the edge space and the vertex space of <math>G</math>. The incidence matrix of <math>G</math>, as a linear transformation, maps each edge to its two incident vertices. Let <math>vu</math> be the edge between <math>v</math> and <math>u</math> then
- <math>H(vu) = v+u</math>
The cycle space and the cut space are linear subspaces of the edge space.
References
- Шаблон:Citation (the electronic 3rd edition is freely available on author's site).
See also
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|