In mathematics, the excluded point topology is a topology where exclusion of a particular point defines openness. Formally, let X be any non-empty set and p ∈ X. The collection
- <math>T = \{S \subseteq X : p \notin S\} \cup \{X\}</math>
of subsets of X is then the excluded point topology on X. There are a variety of cases which are individually named:
- If X has two points, it is called the Sierpiński space. This case is somewhat special and is handled separately.
- If X is finite (with at least 3 points), the topology on X is called the finite excluded point topology
- If X is countably infinite, the topology on X is called the countable excluded point topology
- If X is uncountable, the topology on X is called the uncountable excluded point topology
A generalization is the open extension topology; if <math>X\setminus \{p\} </math> has the discrete topology, then the open extension topology on <math>(X \setminus \{p\}) \cup \{p\}</math> is the excluded point topology.
This topology is used to provide interesting examples and counterexamples.
Properties
Let <math>X</math> be a space with the excluded point topology with special point <math>p.</math>
The space is compact, as the only neighborhood of <math>p</math> is the whole space.
The topology is an Alexandrov topology. The smallest neighborhood of <math>p</math> is the whole space <math>X;</math> the smallest neighborhood of a point <math>x\ne p</math> is the singleton <math>\{x\}.</math> These smallest neighborhoods are compact. Their closures are respectively <math>X</math> and <math>\{x,p\},</math> which are also compact. So the space is locally relatively compact (each point admits a local base of relatively compact neighborhoods) and locally compact in the sense that each point has a local base of compact neighborhoods. But points <math>x\ne p</math> do not admit a local base of closed compact neighborhoods.
The space is ultraconnected, as any nonempty closed set contains the point <math>p.</math> Therefore the space is also connected and path-connected.
See also
References
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|