In mathematics, a complete manifold (or geodesically complete manifold) Шаблон:Mvar is a (pseudo-) Riemannian manifold for which, starting at any point Шаблон:Math, you can follow a "straight" line indefinitely along any direction. More formally, the exponential map at point Шаблон:Mvar, is defined on Шаблон:Math, the entire tangent space at Шаблон:Mvar.
Equivalently, consider a maximal geodesic <math>\ell\colon I\to M</math>. Here <math>I</math> is an open interval of <math>\mathbb{R}</math>, and, because geodesics are parameterized with "constant speed", it is uniquely defined up to transversality. Because <math>I</math> is maximal, <math>\ell</math> maps the ends of <math>I</math> to points of Шаблон:Math, and the length of <math>I</math> measures the distance between those points. A manifold is geodesically complete if for any such geodesic <math>\ell</math>, we have that <math>I=(-\infty,\infty)</math>.
Examples and non-examples
Euclidean space <math>\mathbb{R}^n</math>, the spheres <math>\mathbb{S}^n</math>, and the tori <math>\mathbb{T}^n</math> (with their natural Riemannian metrics) are all complete manifolds.
All compact Riemannian manifolds and all homogeneous manifolds are geodesically complete. All symmetric spaces are geodesically complete.
Every finite-dimensional path-connected Riemannian manifold which is also a complete metric space (with respect to the Riemannian distance) is geodesically complete. In fact, geodesic completeness and metric completeness are equivalent for these spaces. This is the content of the Hopf–Rinow theorem.
Non-examples
A simple example of a non-complete manifold is given by the punctured plane <math>\mathbb{R}^2 \smallsetminus \lbrace 0 \rbrace</math> (with its induced metric). Geodesics going to the origin cannot be defined on the entire real line. By the Hopf–Rinow theorem, we can alternatively observe that it is not a complete metric space: any sequence in the plane converging to the origin is a non-converging Cauchy sequence in the punctured plane.
There exist non-geodesically complete compact pseudo-Riemannian (but not Riemannian) manifolds. An example of this is the Clifton–Pohl torus.
In the theory of general relativity, which describes gravity in terms of a pseudo-Riemannian geometry, many important examples of geodesically incomplete spaces arise, e.g. non-rotating uncharged black-holes or cosmologies with a Big Bang. The fact that such incompleteness is fairly generic in general relativity is shown in the Penrose–Hawking singularity theorems.
References
Шаблон:Manifolds
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|