Шаблон:Short description
In mathematics, Gödel's speed-up theorem, proved by Шаблон:Harvs, shows that there are theorems whose proofs can be drastically shortened by working in more powerful axiomatic systems.
Kurt Gödel showed how to find explicit examples of statements in formal systems that are provable in that system but whose shortest proof is unimaginably long. For example, the statement:
- "This statement cannot be proved in Peano arithmetic in fewer than a googolplex symbols"
is provable in Peano arithmetic (PA) but the shortest proof has at least a googolplex symbols, by an argument similar to the proof of Gödel's first incompleteness theorem: If PA is consistent, then it cannot prove the statement in fewer than a googolplex symbols, because the existence of such a proof would itself be a theorem of PA, a contradiction. But simply enumerating all strings of length up to a googolplex and checking that each such string is not a proof (in PA) of the statement, yields a proof of the statement (which is necessarily longer than a googolplex symbols).
The statement has a short proof in a more powerful system: in fact the proof given in the previous paragraph is a proof in the system of Peano arithmetic plus the statement "Peano arithmetic is consistent" (which, per the incompleteness theorem, cannot be proved in Peano arithmetic).
In this argument, Peano arithmetic can be replaced by any more powerful consistent system, and a googolplex can be replaced by any number that can be described concisely in the system.
Harvey Friedman found some explicit natural examples of this phenomenon, giving some explicit statements in Peano arithmetic and other formal systems whose shortest proofs are ridiculously long Шаблон:Harv. For example, the statement
- "there is an integer n such that if there is a sequence of rooted trees T1, T2, ..., Tn such that Tk has at most k + 10 vertices, then some tree can be homeomorphically embedded in a later one"
is provable in Peano arithmetic, but the shortest proof has length at least A(1000), where A(0) = 1 and A(n+1) = 2A(n). The statement is a special case of Kruskal's theorem and has a short proof in second order arithmetic.
If one takes Peano arithmetic together with the negation of the statement above, one obtains an inconsistent theory whose shortest known contradiction is equivalently long.
See also
References
| Партнерские ресурсы |
|---|
| Криптовалюты |
|
|---|
| Магазины |
|
|---|
| Хостинг |
|
|---|
| Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
|---|
