Русская Википедия:*-алгебра
Шаблон:Нет источников *-алгебра (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) — ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению.
*-кольцо
*-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является
- антиавтоморфизмом, то есть
- <math>\ (x + y)^* = x^* + y^*</math>
- <math>\ (x y)^* = y^* x^*</math>
- <math>\ 1^* = 1</math>
- и инволюцией, то есть
- <math>\ (x^*)^* = x.</math>
Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией.
*-алгебра
*-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в <math>R \subset A.</math>
Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).
Тогда * сопряженно-линейное, то есть
- <math>(\lambda x+ \mu y)^* = \lambda^* x^* + \mu^* y^* \quad \lambda, \mu \in R; \;\; x,y \in A</math>.
*-гомоморфизм <math>\ f: A \to B</math> — это гомоморфизм алгебр, который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:
- <math>f(x^*) = f(x)^* \quad \forall x \in A.</math>
- Элементы для которых <math>\ x^*= x</math> называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми.
- Элементы для которых <math>\ x^*=-x</math> называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми.
- Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде <math>\phi(x,y) = x^* \cdot y</math>.
C*-алгебра
Шаблон:Main C*-алгебра — банахова *-алгебра над полем комплексных чисел, для которой выполняется C*-свойство:
- <math> \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|,</math>
- <math> \|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|.</math>
Оба условия эквивалентны.
Также они эквивалентны В*-свойству
- <math> \|x x^* \| = \|x\|^2. </math>
Примеры
- Самым известным примером являются комплексные числа <math>\Complex</math> с операцией сопряжения.
- Квадратные матрицы с комплексными элементами с операцией эрмитового сопряжения.
- Эрмитовое сопряжения линейного оператора в гильбертовом пространстве.
Свойства
Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:
- Если элемент 2 в кольце обратим, тогда <math>\frac12(1-*)</math> и <math>\frac12(1+*)</math> является ортогональными идемпотентами. Как векторное пространство, алгебра разлагается в прямую сумму подпространств симметричных и анти-симметричных (эрмитовых и анти-эрмитовых) элементов.
- Эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Йордана.
- Анти-эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Ли.
Обозначения
Операция инволюции записывается обычно в виде символа звёздочки (астериска), указываемого после операнда, находящегося на уровне средней линии или слегка поднятого над нею:
или
- Шаблон:Math ([[TeX|Шаблон:TeX]]:
x^*),
но не «Шаблон:Math» так как символ звёздочки для бинарных операций находится ниже средней линии. Иногда используется также надстрочная черта Шаблон:Math, как в комплексном сопряжении, или Шаблон:Math (поднятый типографский крестик).
См. также
- Операторные алгебры
- Процедура Кэли — Диксона иногда строит *-алгебру
Библиография
- H. G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, с. 142—150.
