Русская Википедия:Ассоциативность (математика)
Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции <math>\circ</math>, заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы <math>(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)</math> в произвольном порядке к элементам <math>x,\;y,\;z</math>.
Термин ввёл Уильям Гамильтон в 1853 году.
Поскольку для ассоциативных операций результат выражения <math>x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n</math> не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются. Для неассоциативной операции выражение <math>x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n</math> при <math>n>2</math> не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.
Примеры ассоциативных операций:
- сложение комплексных чисел: <math> ( a + b ) + c = a + ( b + c ) </math>
- умножение комплексных чисел: <math> ( a \cdot b ) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c ) </math>
- композиция функций: <math>( H \circ G ) \circ F = H \circ ( G \circ F ) </math>
Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения <math>a^{b^{c}}</math> напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае <math>a^{(b^c)} \neq (a^b)^c</math>.
Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют Шаблон:Iw с неассоциативной.
Ассоциативность играет важную роль в общей алгебре: в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны (группы, кольца, поля, полурешётки и решётки). Теория полугрупп фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: квазигруппы, лупы, неассоциативные кольца, Шаблон:Iw. Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, открыт вопрос о выполнении теоремы Лагранжа для конечных луп).
В информатике ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать параллелизм для последовательных применений операции. В то же время многие практические операции (сложение и умножение при работе с числами с плавающей запятой) оказываются неассоциативными.
Свойство естественным образом обобщается на <math>n</math>-арный случай: операция <math>\varphi \colon X^n \to X</math> называется ассоциативной, если для всех <math>i = 1, \dots, n</math> имеет место тождество:
- <math>\varphi(\varphi(x_1, \dots, x_n), x_{n+1}, \dots, x_{2n-1}) = \varphi (x_1, \dots, x_i, \varphi(x_{i+1}, x_{i+2}, \dots, x_{i+n}), x_{i+n+1}, \dots, x_{2n-1})</math>.
Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность, альтернативность, Шаблон:Iw — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.
Литература
_with_colours.png){kind=link}