Русская Википедия:Бесконечная система линейных алгебраических уравнений
Бесконечная система линейных алгебраических уравнений — обобщение понятия системы линейных алгебраических уравнений на случай бесконечного множества неизвестных, определённое методами функционального анализа. Оно имеет смысл не над любым полем, а, например, над вещественными и комплексными числами. Также возможно прямолинейное обобщение методами собственно линейной алгебры, отличное от описанного в статье.
Бесконечная система линейных алгебраических уравнений часто появляется в процессе решения разнообразных задач в физике и технике методом неопределённых коэффициентов, например в задачах теплопроводности, определения перигелия движения Луны в астрономии, в задаче определения статического прогиба прямоугольного тела с закреплёнными концами.Шаблон:Sfn
Определение
Бесконечной системой линейных алгебраических уравнений называется бесконечное множество алгебраических уравнений первой степени относительно бесконечного множества неизвестных: <math>\sum_{k=1}^{\infty}a_{ik}x_{k} = b_{i}</math>, <math>i=1, 2, ...</math>. Решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется всякая последовательность чисел <math>\left \{ x_{k} \right \}</math>, такая, что все ряды <math>\sum_{k=1}^{\infty}a_{ik}x_{k}</math>, <math>i=1,2, ...</math> являются сходящимися к <math>b_{i}</math>. Решение <math>\left \{ x_{k} \right \}</math> бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется ограниченным, если числа <math>x_{k}</math> образуют ограниченную последовательность.
Удобно рассматривать бесконечные системы линейных алгебраических уравнений в виде: <math>x_{i} - \sum_{k=1}^{\infty}c_{ik}x_{k} = b_{i}</math>, <math>i=1, 2, ...</math>, <math>c_{ik}=-a_{ik} + \delta_{ik}</math>. Бесконечная система линейных алгебраических уравнений называется вполне регулярной, если существует такая положительная постоянная <math>q < 1</math>, что <math>\sum_{k=1}^{\infty} \left | c_{ik} \right | \leqslant q</math>.
Вполне регулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное ограниченное решение <math>\left \{ x_{i} \right \}</math> при любой ограниченной совокупности свободных членов <math>b_{i}</math>. При этом, если <math>b_{i} \leqslant B</math> для всех <math>i=1, 2, ...</math>, то <math>\left | x_{i} \right | \leqslant \frac{B}{1-q}</math>.Шаблон:Sfn
Бесконечный определитель
В матрице коэффициентов бесконечной линейной системы уравнений можно оставить лишь первые <math>n</math> строк и <math>n</math> столбцов и составить из них квадратную матрицу размером <math>n \times n</math>:
- <math>A(n) =
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} </math>
Обозначим определитель этой матрицы как <math>\Delta(n) = det (A(n))</math>.
Если существует предел: <math>\Delta = \lim_{n \to \infty} \Delta(n)</math>, то он называется бесконечным определителем, соответствующим матрице <math>a_{ij}</math>Шаблон:Sfn.
Достаточное условие существования
Представим матрицу <math>a_{ij} </math> в новом виде, выделив из её всех диагональных членов слагаемое, равное единице:
- <math>a_{ij} =
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c_{11} + 1 & c_{12} & \cdots \\ c_{21} & c_{22} + 1 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{vmatrix} </math>
Для того, чтобы бесконечный определитель матрицы <math>a_{ij}</math> существовал и обладал свойствами, аналогичными свойствам обычного определителя, достаточно, чтобы бесконечный двойной ряд <math>\sum_{i, k=1}^{\infty} | c_{ik} |</math> сходился.Шаблон:Sfn
Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений
Если у матрицы <math>a_{ij}</math> бесконечной системы линейных алгебраических уравнений существует и не равен нулю бесконечный определитель и все её свободные члены ограничены по модулю (то есть существует положительное число <math>M_1</math>, такое, что <math>|b_{k}| < M_1, \forall k</math>), то эта система имеет единственное ограниченное решение (то есть существует положительное число <math>M_2</math>, такое, что <math>|x_{k}| < M_2, \forall k</math>), определяемое по формулам Крамера:
- <math>x_{k} = \frac{\Delta_{k}}{\Delta}</math>,
где <math>\Delta_{k}</math> — определитель, который получается из определителя <math>\Delta</math> заменой элементов k-го столбца свободными членами.Шаблон:Sfn
См. также
Примечания
Литература
