Русская Википедия:Весовая функция
Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.
Дискретные весовые функции
Общие определения
Дискретная весовая функция <math>w: A \to {\mathbb R}^+</math> — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений <math>A</math>, которое обычно конечно или счётно. Весовая функция <math>w(a) := 1</math> соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция <math>f: A \to {\mathbb R}</math> определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма <math>f</math> на <math>A</math> определяется как
- <math>\sum_{a \in A} f(a)</math>;
в отличие от взвешенной суммы <math>w: A \to {\mathbb R}^+</math>, определяемой как
- <math>\sum_{a \in A} f(a) w(a)</math>.
Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация.
Если B — конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность
- <math>\sum_{a \in B} w(a).</math>
Если A — конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического
- <math>\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} f(a)</math>
в виде взвешенного среднего арифметического
- <math> \frac{\sum_{a \in A} f(a) w(a)}{\sum_{a \in A} w(a)}.</math>
В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда [1], если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия <math>J</math> частные показатели качества <math>x_i</math> нормируются (диапазон изменения <math>[\min{x_i}, \max{x_i}]</math> каждого из них приводится к отрезку <math>[0, 1]</math>): <math>x_i'=\frac{x_i - \min{x_i}}{\max{x_i} - \min{x_i}}</math>, а интегральный критерий рассчитывается как <math>J=\sum_{i=1}^{n}{x_i' w_i}</math>, чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов <math>w_1, \ldots, w_n</math>.
Статистика
Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (Шаблон:Lang-en). Для истинного значения <math>f</math>, измеренного как <math>f_i</math> несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями <math>\sigma^2_i</math>, наилучшее приближение получается путём усреднения всех результатов измерений с весами <math>w_i=\frac 1 {\sigma_i^2}</math>: результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения <math>\sigma^2=1/\sum w_i</math>. В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями <math>w_i</math>.
Механика
Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется <math>n</math> объектов с весами <math>w_1, \ldots, w_n</math> (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках <math>\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_n</math> на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры будет расположена в центре масс
- <math>\frac{\sum_{i=1}^n w_i \boldsymbol{x}_i}{\sum_{i=1}^n w_i}</math>,
который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат <math>\boldsymbol{x}_i</math>.
Непрерывные весовые функции
В случае непрерывных величин вес — положительная мера <math>w(x) dx</math> в некотором домене <math>\Omega</math>, который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства <math>{\mathbb R}^n</math> на отрезке <math>[a,b]</math>. Здесь <math>dx</math> — мера Лебега, а <math>w: \Omega \to \R^+</math> — неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция <math>w(x)</math> часто употребляется в понятии плотности.
Общие определения
Если <math>f: \Omega \to {\mathbb R}</math> — вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл
- <math>\int_\Omega f(x)\ dx</math>
может быть дополнен взвешенным интегралом
- <math>\int_\Omega f(x) w(x)\, dx</math>
Взвешенный объём
Если E — подмножество <math>\Omega</math>, то объём vol(E) области E может быть дополнен взвешенным объёмом
- <math> \int_E w(x)\ dx</math>.
Взвешенное среднее
Если <math>\Omega</math> имеет конечный ненулевой взвешенный объём, то можно заменить невзвешенное среднее
- <math>\frac{1}{\mathrm{vol}(\Omega)} \int_\Omega f(x)\ dx</math>
на взвешенное среднее
- <math> \frac{\int_\Omega f(x)\ w(x) dx}{\int_\Omega w(x)\ dx}</math>
Скалярное произведение
Если <math>f: \Omega \to {\mathbb R}</math> и <math>g: \Omega \to {\mathbb R}</math> — две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению
- <math>\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ dx</math>
можно ввести взвешенное скалярное произведение
- <math>\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ w(x) dx</math>
(См. также ортогональность)
См. также
- Центр масс
- Численное интегрирование
- Ортогональность
- Среднее арифметическое взвешенное
- Взвешенный граф
Ссылки
