Русская Википедия:Гиперплоскость

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая (отражаемая уравнением <math> n_1x_1 + n_2x_2 = b </math>), для трёхмерного — плоскость, для четырёхмерного — трёхмерное пространство («трёхмерная плоскость») и т. д.

Уравнение гиперплоскости

Пусть <math>\mathbf{n} \in \R^k</math> — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку <math>\mathbf{X} \in \R^k</math>, имеет вид

<math>\langle\mathbf{n} ; \mathbf{x}\rangle = \langle\mathbf{n} ; \mathbf{X}\rangle</math>

Здесь <math>\langle\bullet;\bullet\rangle</math> — скалярное произведение в пространстве <math>\R^k</math>. В частном случае уравнение принимает вид

<math>n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_k x_k = d = n_1 X_1 + n_2 X_2 + \ldots + n_k X_k</math>

Расстояние от точки до гиперплоскости

Пусть <math>\mathbf{n} \in \R^k</math> — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки <math>\mathbf{r} \in \R^k</math> до этой гиперплоскости задаётся формулой

<math>\rho = \frac{|\langle\mathbf{r}-\mathbf{R};\mathbf{n}\rangle|}{|\mathbf{n}|}</math>

где <math>\mathbf{R}</math> — произвольная точка гиперплоскости.

См. также

• Гиперповерхность