Русская Википедия:Группа Фробениуса
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Группа Фробениуса, или фробениусова группа — транзитивная группа перестановок на конечном множестве, такая, что каждый нетривиальный элемент фиксирует не более одной точки, и некоторый нетривиальный элемент фиксирует точку.
Названы в честь Ф. Г. Фробениуса.
Связанные определения
Пусть G — группа Фробениуса, состоящая из перестановок множества X.
- Подгруппа H в G, фиксирующая точку, называется дополнением Фробениуса.
- Единичный элемент вместе со всеми элементами, не входящими ни в одну сопряжённую с H подгруппу, образуют нормальную подгруппу K, называемую ядром Фробениуса.
Свойства
- Группа Фробениуса G является полупрямым произведением ядра K и дополнения H:
- <math>G=K\rtimes H</math>.
- Ядро Фробениуса является нильпотентной группой.
- Если дополнение H имеет чётный порядок, то ядро K абелево.
- Каждая подгруппа дополнения, порядок которой равен произведению 2 простых чисел, является циклической.
- Это означает, что её силовские подгруппы являются циклическими или обобщенными группами кватернионов.
- Любая группа, такая, что все подгруппы Силова циклические, называется Z-группой и, в частности, должна быть метациклической группой. Это означает, что она является расширением двух циклических групп.
- Если дополнение H неразрешимо, то оно имеет нормальную подгруппу индекса 1 или 2, которая является произведением SL(2,5) и метациклической группы порядка 30.
- В частности, если дополнение Фробениуса совпадает с его производной подгруппой, то оно изоморфно SL(2,5).
- Если дополнение разрешимо, то оно имеет нормальную метациклическую подгруппу, факторгруппа по которой является подгруппой симметрической группы <math>S_4</math>.
- Конечная группа является дополнением Фробениуса тогда и только тогда, когда она имеет точное конечномерное представление над конечным полем, в котором неединичные элементы группы соответствуют линейным преобразованиям без ненулевых фиксированных точек.
Примеры
- Самый маленький пример — симметрическая группа <math>S_3</math>, состоящая из 6 элементов. Ядро Фробениуса имеет порядок 3, а дополнение порядок 2.
- Для каждого конечного поля <math>\mathbb{F}_q</math> с <math> q > 2</math> элементами группа обратимых аффинных преобразований, естественно действующих на <math>\mathbb{F}_q</math>, является группой Фробениуса.
- Предыдущий пример соответствует случаю <math>\mathbb{F}_3</math> — полю с тремя элементами.
- Группа симметрий плоскости Фано, действующая на множестве её флагов, фробениусова.
- Диэдральная группа порядка 2n с нечётным n — фробениусова с дополнением порядка 2.
- Вообще, если K — любая абелева группа нечетного порядка, а H имеет порядок 2 и действует на K путем инверсии, то полупрямое произведение K.H является группой Фробениуса.
- Многие другие примеры могут быть сгенерированы с помощью следующих конструкций.
- Если заменить дополнение Фробениуса группы Фробениуса нетривиальной подгруппой, мы получим другую группу Фробениуса.
- Если имеются две группы Фробениуса <math>K_1.H</math> и <math>K_2.H</math>, то <math>(K_1\times K_2).H</math> также фробениусова.
- Если K — неабелева группа порядка 73 с экспонентой 7, а H — циклическая группа порядка 3, то существует группа Фробениуса G, которая является расширением K.H. Это был первый пример группы Фробениуса с неабелевым ядром (построен Отто Шмидтом).
- Если H — группа SL(2,5) порядка 120, она свободно действует на 2-мерное векторное пространство K над полем с 11 элементами. Расширение K.H является наименьшим примером неразрешимой группы Фробениуса.
- Подгруппа группы Зассенхауса, фиксирующая точку, является группой Фробениуса.
Теория представлений
Неприводимые комплексные представления группы Фробениуса G могут быть считаны из представлений H и K. Существует два типа неприводимых представлений G:
- Любое неприводимое представление R группы H даёт неприводимое представление G с использованием факторотображения из G в H (то есть как ограниченное представление). Они дают неприводимые представления G с подгруппой K, содержащейся в их ядре.
- Если S — любое нетривиальное неприводимое представление K, то соответствующее индуцированное представление G также неприводимо. Они дают неприводимые представления G с подгруппой K, отсутствующей в их ядре.
Альтернативные определения
Существует ряд свойств, формулируемых в терминах теории групп, которые интересны сами по себе, но ещё и оказываются эквивалентными существованию у группы представления перестановками, которое делает её фробениусовой.
- G является группой Фробениуса тогда и только тогда, когда G имеет нетривиальную собственную подгруппу H, такую, что <math>H\cap H^g</math> — тривиальная подгруппа для любого g ∈ G − H.
Предполагая, что <math>G = K\rtimes H</math> — полупрямое произведение нормальной подгруппы K и дополнения H, следующие ограничения на централизаторы эквивалентны тому, что G является группой Фробениуса с дополнением Фробениуса H:
- Централизатор <math>C_G(k)</math> является подгруппой K для любого неединичного элемента <math>k \in K</math>.
- <math>C_H(k) = 1</math> для любого неединичного элемента <math>k \in K</math>.
- <math>C_G(h) \leq H</math> для любого неединичного элемента <math>h \in H</math>.
Литература
- B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer 1967
- I. M. Isaacs, Character theory of finite groups, AMS Chelsea 1976
- D. S. Passman, Permutation groups, Benjamin 1968
