Русская Википедия:Двойственность Пуанкаре
В математике, теорема двойственности Пуанкаре, названная в честь французского математика Анри Пуанкаре, является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразия. Она утверждает, что все k-е группы когомологий n-мерного ориентируемого замкнутого многообразия M изоморфны (n − k)-м группам гомологий M :
- <math>H^k(M) \cong H_{n-k}(M).</math>
История
Первоначальный вариант теоремы двойственности был сформулирован Пуанкаре без доказательства в 1893 году. Когомологии были изобретены лишь спустя два десятилетия после его смерти, поэтому идею двойственности он сформулировал в терминах чисел Бетти: k-е и (n − k)-е числа Бетти замкнутого (компактного без границы) ориентируемого n-мерного многообразия равны:
- <math>b_k(M)=b_{n-k}(M).</math>
Позже Пуанкаре дал доказательство этой теоремы в терминах двойственных триангуляций[1][2].
Современная формулировка
Современная формулировка двойственности Пуанкаре включает понятия гомологий и когомологий: если M — замкнутое ориентируемое n-мерное многообразие, k — целое число, то существует канонический изоморфизм k-й группы когомологий <math>H^k(M)</math> в (n − k)-ю группу гомологий <math>H_{n-k}(M)</math>:
- <math>D:H^k(M)\to H_{n-k}(M)</math>.
Этот изоморфизм определяется фундаментальным классом многообразия <math>[M]</math>:
- <math>D(\alpha)=[M]\frown\alpha</math>,
где <math>\alpha\in H^k(M)</math> — коцикл, <math>\frown</math> обозначает <math>\frown</math>-умножение гомологических и когомологических классов. Здесь приведены гомологии и когомологии с коэффициентами в кольце целых чисел, но изоморфизм имеет место и для произвольного кольца коэффициентов.
Для некомпактных ориентируемых многообразий когомологии в этой формуле необходимо заменить на когомологии с компактным носителем.
Для <math>k<0</math> группы гомологий и когомологий, по определению нулевые, соответственно, согласно двойственности Пуанкаре, группы гомологий и когомологий при <math>k>n</math> на n-мерном многообразии являются нулевыми.
Билинейное спаривание
Пусть M замкнутое ориентируемое многообразие, обозначим через <math>\tau H_k (M)</math> кручение группы <math>H_k (M)</math>, и <math>fH_k (M) = H_k (M) / \tau H_k (M)</math> её свободную часть; все группы гомологий берутся с целыми коэффициентами. Существуют билинейные отображения:
- <math>fH_k (M) \otimes fH_{n-k} (M) \to \mathbb Z</math>
и
- <math>\tau H_k (M) \otimes \tau H_{n-k-1} (M) \to \mathbb Q / \mathbb Z.</math>
- (Здесь <math>\mathbb Q / \mathbb Z</math> — аддитивная факторгруппа группы рациональных чисел по целым.)
Первая форма называется индексом пересечения, вторая — коэффициентом зацепления. Индекс пересечения определяет невырожденную двойственность между свободными частями групп <math>H_k(M)</math> и <math>H_{n-k}(M)</math>, коэффициент зацепления — между кручениями групп <math>H_k (M)</math> и <math>H_{n-k-1} (M)</math>.
Утверждение о том, что эти билинейные спаривания определяют двойственность, означает, что отображения
- <math>fH_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(fH_{n-k} (M),\mathbb Z)</math>
и
- <math>\tau H_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(\tau H_{n-k-1} (M), \mathbb Q/\mathbb Z)</math>
являются изоморфизмами групп.
Этот результат является следствием двойственности Пуанкаре <math>H_k (M) \simeq H^{n-k} (M)</math> и теоремы об универсальных коэффициентах, которые дают равенства <math>fH^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Hom}(H_{n-k} (M); \mathbb Z)</math> и <math>\tau H^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Ext}(H_{n-k-1} (M); \mathbb Z) \equiv \mathrm{Hom}(\tau H_{n-k-1} (M); \mathbb Q/\mathbb Z)</math>. Таким образом, группы <math>fH_k (M)\simeq fH_{n-k} (M)</math> являются изоморфными, хотя и не существует естественного изоморфизма, и, аналогично, <math>\tau H_k (M)\simeq \tau H_{n-k-1} (M)</math>.
Ссылки
Литература
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Шаблон:М: Мир, 1976
- Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — Шаблон:М: Наука, 1989
