Русская Википедия:Диаграммы Фейнмана

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Квантовая механика

Файл:Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
На этой диаграмме Фейнмана электрон и позитрон, обозначенные <math>e^-</math> и <math>e^+</math> Шаблон:Iw, создавая виртуальный фотон (синий), который становится кварк-антикварковой парой (<math>q</math> и <math>\overline{q}</math>), а антикварк излучает глюон (зелёный); время направлено слева направо. Ориентации стрелок обозначают не направление движения частиц, а их тип (частицы, стрелка направлена в будущее, и античастицы — стрелка направлена в прошлое).

Диаграмма Фейнмана — графическое представление математических уравнений, описывающих взаимодействия субатомных частиц в рамках квантовой теории поля. Этот инструмент изобрёл американский физик Ричард Фейнман в конце 1940-х годов, во время его работы в Корнельском университете, для выполнения расчётов рассеяния частиц.

Взаимодействие между субатомными частицами требует сложных вычислений, которые трудно понять интуитивно. Диаграммы Фейнмана обеспечивают простую систему визуализации для упрощения этих формул. Эта система произвела революцию во всей теоретической физике, затем её применили в прикладной физике.

Вычисления амплитуды вероятности выполняются с использованием интегралов в комплексной плоскости от большого количества переменных. Эти конкретные интегралы имеют регулярную структуру, которая позволяет представлять их в виде наборов диаграмм. Диаграмма Фейнмана представляет вклад траекторий частиц, которые соединяются, а затем разделяются на этой диаграмме. Технически — это графическое представление математического слагаемого в ряду теории возмущений.

Несмотря на свой внешний вид, диаграммы Фейнмана не отображают физических явлений. Единственными реальными элементами являются частицы, входящие и исходящие линии графа, а не взаимодействия, учитываемые диаграммой.

История

Файл:Equivalent of one of first published Feynman diagrams.svg
Эквивалент одной из первых опубликованных диаграмм в 1949 годуШаблон:Sfn.

Диаграммы Фейнмана произвели революцию в физике элементарных частиц, сделав доступными вычисления посредством простых рисунков и абстрактных концепцийШаблон:Sfn. Диаграммы позже использовалась в ядерной физике, в теории гравитации или в физике твёрдого тела: они получили распространение в многих областях физикиШаблон:Sfn. Джулиан Швингер сравнил их с появлением компьютераШаблон:Sfn[Note 1]: Шаблон:Blockquote Их значимость такова, что историки науки отнесли их к определённой категории: Эндрю Уорвик придумал термин «теоретическая технология», и Шаблон:Iw — «бумажные инструменты»Шаблон:Sfn.

Фейнман изобрёл диаграммную технику для выполнения расчётов дисперсии в квантовой электродинамике. Чтобы упростить свои вычисления амплитуд вероятностей, он связал математические термины с графиками, представляющими частицы линиями, а их взаимодействия — вершинами, пересечением этих линийШаблон:Sfn. Его первой идеей было создание системы обозначений, позволяющей ему производить громоздкие вычисления, необходимые в квантовой электродинамикеШаблон:Sfn. Когда он представил их весной 1948 года, вряд ли кто-либо из физиков осознал их значение[Note 2]. Но в последующие месяцы каждый принял их со своими собственными условностями. Несмотря на начало стандартизации в 1949 году, были разработаны и другие семейства диаграмм для различных целей, заменив существующие инструментыШаблон:Sfn.

В течение первых шести лет диаграммы распространились среди около сотни физиков из уст в уста и в научных статьях; первые книги на английском языке по этой теме появились в 1955 году[Note 3]Шаблон:Sfn. Они распространились в основном благодаря работе Фримена Дайсона, который прибыл в Корнелл в 1947 году для работы с Гансом Бете. Коллега Фейнмана много обсуждал с ним этот графический метод, облегчающий вычисления перенормировок. Он также изучил чисто алгебраический метод Джулиана Швингера, а также методы Синъитиро Томонаги и, наконец, продемонстрировал, что эти три подхода эквивалентны, создав, кроме того, руководство по применению диаграмм Фейнмана, в то время как последний ещё не опубликовал статью по этой темеШаблон:Sfn.

До Фейнмана несколько ранее используемых графических представлений для более интуитивного понимания концепций квантовой механики были далеко не такими полными. В частности, использовалась диаграмма переходов между энергетическими уровнями (вдохновлённая диаграммами спектроскопии) и диаграмма, придуманная Грегором Вентцелем для описания процессов обмена между частицами[Note 4]Шаблон:Sfn. Фейнмана также вдохновили диаграммы Минковского, используемые в специальной теории относительностиШаблон:Sfn.

Описание

Файл:Feynman diagram - simplest form.svg
Основные элементы диаграмм Фейнмана: пространство по оси x и время по оси y, с взаимодействием между частицами.

Диаграммы Фейнмана — это графические представления слагаемых, используемых в пертурбативных вычислениях. Несмотря на то, что они никогда не были стандартизированы, существует множество соглашений, в частности потому, что они имеют очень разные приложения, помимо описания взаимодействия между частицамиШаблон:Sfn. По своей природе в квантовой физике они представляют собой элегантный способ перейти от описания процесса взаимодействия электронов и фотонов к математической формуле, которая задаёт его амплитуду вероятностиШаблон:Sfn. Со временем диаграммы стали языком, на котором физики могут рассказывать о своих расчётахШаблон:Sfn.

Эти диаграммы, которые, по всей видимости, визуально представляют взаимодействия между частицами, на самом деле являются мощным математическим инструментом. Ричард Фейнман создал их для выполнения вычислений в квантовой электродинамикеШаблон:Sfn. Затем они были обобщены на все взаимодействия, в которых участвуют известные элементарные частицы, то есть на электромагнитное, сильное и слабое взаимодействия. Фермионы представлены линией со стрелками, антифермионы — линией со стрелкой в противоположном направлении, калибровочные бозоны имеют различные изображения: фотон — волнистой линией, глюон — закольцованной линией, бозоны W, Z и Хиггса — пунктирной линией, сопровождаемой символами частиц (W+, W-, Z, H); бозоны переносчики слабого взаимодействия (W+, W-, Z) иногда изображаются той же волнистой линией, что и фотонШаблон:Sfn.

Примеры диаграмм где используется нескольких типов частиц.

Духи Фадеева — Попова нарисованы линией из точекШаблон:Sfn.

Представление других частиц

Поскольку диаграммы Фейнмана не стандартизированы даже для элементарных взаимодействий, некоторые из них могут иметь очень разные представления, часто адаптированные к используемому контексту. Протон, который представляет собой составную частицу, может отображаться в виде линии со стрелкой, сопровождаемой буквой <math>p</math>, круг, который в более общем виде представляет адроныШаблон:Sfn, или три параллельные линии, изображающие два u-кварка и один d-кваркШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Условные обозначения

Световое или электронное явление, представленное на диаграмме Фейнмана, называется «последовательность»Шаблон:Sfn. Последовательности происходят в пространстве-времени, изображающемся в системе отсчета с пространством по оси абсцисс, упрощённым до одного измерения вместо трёх, и временем по ординатеШаблон:Sfn. Фейнман предпочёл направить время вверх, этот выбор был чисто произвольным, но физики элементарных частиц, похоже, все больше предпочитают ориентацию слева направо[Note 5]Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Фермионы представлены прямой линией со стрелкой, а частицы, переносчики взаимодействий (бозоны), — волнистой или пунктирной линиями. Последовательность испускания или поглощения фотона называется «соединение» или «связь»; она представлена вершиной — точкой соединения линийШаблон:Sfn. Излучение и поглощение оба названы одним термином "связь" потому, что оба явления имеют одинаковую амплитуду (т.е. вероятность), равную постоянной тонкой структуры <math>\alpha</math> для квантовой электродинамикиШаблон:Sfn или константе связи сильного ядерного взаимодействия <math>\alpha_s</math> для квантовой хромодинамикиШаблон:Sfn.

Схема построена из трёх элементов: вершины, в которых сохраняются энергия и импульс, внешние линии представляют входящие и исходящие реальные частицы, а внутренние линии обозначают виртуальные частицыШаблон:Sfn. С каждой линией или вершиной связан множитель, который вносит вклад в амплитуду вероятности описанного процесса, фактор, связанный с виртуальной частицей (внутренней линией), называется пропагаторомШаблон:Sfn.

Свойства

Файл:Feynman diagram anatomy.svg
Типовая схема: входящие частицы показаны красным, а исходящие — зелёным, виртуальные частицы — синим, а вершины — чёрными точками.

Взаимодействие описывается набором диаграмм Фейнмана и определяется входящими (начальными) и исходящими (конечными) частицами. Можно измерить свойства этих частиц, такие как их энергия или их импульс, и убедиться, что они соответствуют уравнению эквивалентности массы и энергии Эйнштейна,

<math>E^2 - p^2c^2 = m^2 c^4\,</math>

в его релятивистской версии (сохранение 4-импульса)Шаблон:Sfn. Говорят, что наблюдаемые таким образом частицы находятся на массовой поверхностиШаблон:Sfn[1].

С другой стороны, все линии, что находятся посередине, не поддаются измерению: они обозначают виртуальные частицы, которые не подчиняются соотношению эквивалентности массы и энергии, и не ограничены скоростью света, а также не обязаны следовать по стреле времени. Говорят, что они находятся вне массовой поверхностиШаблон:Sfn[1].

Чтобы проанализировать физический процесс, входящие и выходящие частицы которого известны, диаграммы Фейнмана позволяют представить бесконечное количество возможных процессов, которые происходят между этими внешними линиями. Каждая диаграмма соответствует, благодаря правилам Фейнмана, комплексному числу[Note 6], а сумма всех этих чисел с точностью до множителя равна амплитуде рассеяния реакции[1]. Эффективность этого метода заключается в том, что каждая вершина связана с коэффициентом, пропорциональным константе связи, которая имеет очень маленькое значение. Например, в квантовой электродинамике стоит постоянная тонкой структурыШаблон:Sfn:

<math>\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} \approx \frac{1}{137}\,.</math>

Поскольку множители диаграммы умножаются, для получения её амплитуды, все диаграммы с большим количеством вершин имеют незначительный вклад; поэтому диаграммы с более чем четырьмя вершинами в квантовой электродинамике[1] используются редко, поскольку получается хорошее приближение с шестью значащими цифрамиШаблон:Sfn.

Данные процессы включающие четыре вершины имеют одну петлю, поэтому называются однопетлевыми. Диаграммы без петель называются древесными. Если в диаграмме используется n петель, то соответствующая диаграмма называется n-петлевой. Петлевые диаграммы описывают радиационные поправки, которые исчезают в классическом пределе при <math>\hbar\rightarrow 0\,</math>[1].

Файл:EighthOrderMagMoment.svg
Две диаграммы 8-го порядка, которые использовались для расчёта значения постоянной тонкой структуры в 2012 году

В особых случаях необходимо повысить точность вычислений до более высоких порядков. Например, в 2012 году, чтобы вычислить значение постоянной тонкой структуры, группа физиков использовала измеренный ранее аномальный магнитный момент электрона для сравнения с теоретическим расчётом в десятом порядке теории возмущений, включающим 12672 диаграмм Фейнмана. Полученная ошибка для оценки постоянной тонкой структуры составила менее одной миллиардной доли[2].

Фундаментальные взаимодействия

Диаграммы Фейнмана используются для описания трёх фундаментальных взаимодействий, помимо гравитации.

Квантовая электродинамика

Файл:Electron couples with a photon.svg
Электрон (внизу) соединяется с фотоном (справа): эта последовательность содержит 5 базовых вершин.

В этой теории три основных правила позволяют генерировать все физические явления, которые связаны со светом и электронамиШаблон:Sfn:

  1. фотон переходит из одной точки в другую;
  2. электрон переходит из одной точки в другую;
  3. электрон испускает или поглощает фотон.

В более общем подходе квантовая электродинамика имеет дело с взаимодействиями между заряженными частицами (включая электроны и их античастицы — позитроны) и электромагнитным полем (векторами сил которого являются фотоны); на диаграммах Фейнмана электрон представлен стрелкой, направленной по оси времени, позитрон — стрелкой, направленной в противоположном направлении, а фотон — волнистой линией[Note 7]Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Взаимодействия между этими тремя частицами сводятся к единому узору при вершине, состоящему из входящей стрелки, исходящей стрелки и связи с фотоном. В зависимости от ориентации этой вершины во времени получается шесть возможных взаимодействийШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Все взаимодействия между заряженными частицами и светом строятся из этих основных кирпичиков, и только их, потому что они подчиняются законам сохранения, в частности, сохранению энергии, сохранению импульса и сохранению электрического заряда. Любое более сложное взаимодействие — это комбинация этих шести вершинШаблон:Sfn.

Квантовая хромодинамика

В 1968 году Ричард Фейнман показал, что его диаграммы также можно применить к сильному взаимодействию, поэтому они позволяют описывать квантовую хромодинамику, добавляя новые правила. Таким образом, фундаментальным процессом, аналогичным электрон-фотонной реакции в электродинамике, является кварк-глюонная реакция, в которой сохраняется цветовой заряд (но не аромат). У глюонов, несущих подобно кваркам цветовые заряды (в отличие от фотонов, которые являются нейтральными), есть вершины, содержащие только глюоныШаблон:Sfn.

Изучение сильных взаимодействий с диаграммами Фейнмана возможно благодаря свойству асимптотической свободы, которое позволяет применять теорию возмущений к кваркам и глюонам: на очень коротком расстоянии это взаимодействие становится слабымШаблон:SfnШаблон:Sfn. Затем определяется константа связи сильного взаимодействия для вершины, отмечено как <math>\alpha_s</math> — это эквивалент постоянной тонкой структуры в квантовой электродинамике. Сложность квантовой хромодинамики связана с тем, что на кварки сильно влияют непертурбативные силы. Фиксируя на очень больших уровнях импульсов, где связь слабая, значение <math>\alpha_s</math> позволяет рассчитать результат процесса рассеяния при высоких энергияхШаблон:Sfn.

Слабое взаимодействие

В слабом взаимодействии участвуют три его калибровочных бозона, W-бозон в двух его состояниях, <math>W^+</math> и <math>W^-</math>, а также бозон <math>Z^0</math>Шаблон:Sfn. Эти переносчики обычно изображаются пунктирной или волнистой линией (такой же, как у фотона) с буквой соответствующего бозона. Прямая линия со стрелками продолжается здесь до кварков и других лептонов, с соответствующими им символамиШаблон:Sfn.

Значение

Диаграммы Фейнмана не являются представлением траектории частиц. Математически они представляют собой графический способ отображения содержания теоремы ВикаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Действительно, при каноническом квантовании оценке квантовой теории поля диаграмма соответствует члену разложения Вика в теории возмущений для эволюции матрицы рассеянияШаблон:Sfn.

Расчёт амплитуды в теории возмущений

Ни один метод не позволяет вычислить точные решения уравнений, задающих состояние квантовой системы, поэтому необходимо прибегать к приближениям, называемым рядами теории возмущений. Диаграммы Фейнмана позволяют визуализировать и легко систематизировать члены этих рядовШаблон:Sfn.

Теория позволяет предсказывать значения сечений рассеяния процессов; эти значения сравниваются с результатами экспериментов по физике элементарных частиц, чтобы оценить надёжность данной теоретической модели. Обычно используется дифференциал этого эффективного сечения, который является функцией квадрата модуля амплитуды рассеяния, обозначаемого как <math>\mathcal{M}</math>:

<math>\mathrm{d} \sigma = \frac{1}{E^2} \, |\mathcal{M}|^2 \mathrm{d} \Omega \,,</math>

где <math>E</math> — предполагаемая равная энергия каждого из двух пучков частиц, участвовавших в экспериментеШаблон:Sfn.

Общей формулы для расчёта амплитуды <math>\mathcal{M}</math> нет, но ряд теории возмущений может приближаться к точному значениюШаблон:Sfn.

Диаграммы Фейнмана — это графические обозначения членов бесконечного ряда, используемых для выполнения этих вычислений в теории возмущений. Каждая диаграмма представляет собой один из алгебраических членов ряда теории возмущенийШаблон:Sfn. Эта алгебраическая сумма, разложение амплитуды рассеяния, эквивалентна серии диаграмм Фейнмана. Таким образом, каждый член связан с графом, который предлагает сценарий поведения в терминах частиц и их взаимодействий, причём каждый сценарий связан с другим своими входящими и исходящими линиямиШаблон:Sfn. Переход от одного представления к другому позволяет выполнять вычисления в том виде, что кажется наиболее простым или наиболее подходящимШаблон:Sfn.

Одним из первых основных результатов этих диаграмм является то, что они дают графический инструмент для вычисления элементов матрицы рассеяния в любом порядке теории возмущенийШаблон:Sfn.

Вершина

Файл:Feynman second order-2008-16-06.svg
Диаграмма Фейнмана с 4 вершинами и, следовательно, вкладом <math>e^4</math>.

Заряд электрона <math>e</math> очень мал — его значение <math>e^2 \approx \tfrac{1}{137}</math> в правильно подобранных единицах[Note 8]. Когда вычисляется вклад взаимодействия с одиночным фотоном, он пропорционален <math>e^2</math>, с двумя фотонами — он пропорционален <math>e^4</math>, с тремя — возникает фактор <math>e^6</math>, что примерно в Шаблон:Число раз меньше, чем <math>e^2</math>. Даже если кажется, что эта идея приводит к очень быстрому устранению вклада незначительных взаимодействий, их практический расчёт чрезвычайно сложен: ученик Вернера Гейзенберга попытался вычислить вклад для двух фотонов (в <math>e^4</math>), но в итоге получились сотни слагаемыхШаблон:Sfn.

В диаграмме Фейнмана вклад пертурбативного члена очевиден: вершина даёт вклад, равный <math>e</math>, тогда все множители можно классифицировать в соответствии с их вкладом, <math>e^2</math>, <math>e^4</math>, <math>e^6</math> и др.Шаблон:Sfn. Чтобы найти вероятность изменения квантового состояния изучаемого явления, остаётся только вычислить те члены, которые необходимы для желаемой точности, исключив бесконечное количество других возможных случаевШаблон:Sfn.

Виртуальные частицы

На заре квантовой электродинамики в 1930-х годах расчёты в простейших случаях, таких как знание вероятности рассеяния двух электронов, часто давали бесконечные значения: были возможны только приближения, но как только мы захотели бы найти более точные значения, то возникала бесконечность. Это связано с тем, что виртуальные фотоны, которыми обмениваются заряженные частицы в этом взаимодействии, могут иметь очень высокую энергию, если они используют её в течение очень короткого времени. Помимо неограниченных энергий, количество виртуальных частиц также не ограничено: алгебраические уравнения требуют количества слагаемых, которое растёт экспоненциально с числом фотоновШаблон:Sfn.

Вычисление интеграла по путям, который даёт вероятность перехода квантовой частицы из одной точки в другую, требует сложения вкладов всех возможных путей между этими двумя точками, а также учёта вкладов невозможных путейШаблон:Sfn. Точный расчёт невозможен, потому что необходимо было бы суммировать бесконечное количество промежуточных состоянийШаблон:Sfn. Диаграммы Фейнмана позволяют найти желаемую вероятность среди этой бесконечности возможностей, причём с помощью чрезвычайно простых правилШаблон:Sfn.

Пропагаторы

В диаграммах Фейнмана пропагаторами являются вклады виртуальных частиц. Их название происходит от того факта, что они описывают распространение этих частиц, которые движутся свободно, за исключением точек излучения или поглощенияШаблон:Sfn. Ричард Фейнман применил функции Грина к элементарным частицам в форме особого оператора квантовой теории поля, который он назвал пропагаторомШаблон:Sfn.

Для свободного бозона уравнение Клейна — Гордона даёт уравнение движения:

<math>(p^2 - m^2)\psi(p) = 0\,,</math>

где <math>\psi(p)</math> — скалярная волновая функция. Функция Грина <math>G(p)</math> является решением следующего уравнения в импульсном пространствеШаблон:Sfn:

<math>(p^2 - m^2)G(p) = \delta^4(p)\,,</math>

где символ <math>\delta</math> обозначает распределение Дирака, с <math>\delta^4(p) = \delta(p_0)\delta(p_1)\delta(p_2)\delta(p_3)\,.</math>

<math>G(p) = \frac{\delta^4(p)}{p^2 - m^2}\,.</math>

Фейнман интерпретировал <math>G(p)</math> как амплитуду вероятности, связанную с бозоном, распространяющимся с четырёхимпульсом <math>p</math>, что входит в выражениеШаблон:Sfn:

<math>\frac{i}{p^2 - m^2}\,.</math>

Аналогичным образом он определяет оператор для вершин (отвечающие за испускание или поглощение бозона), что приводит к правилам Фейнмана, позволяющим вычислять амплитуды, описываемые его диаграммамиШаблон:Sfn.

Представление

Файл:Bhabha T channel.svg
Рассеяние Баба: позитрон и электрон кажутся отталкивающими друг друга, в то время как физически они притягиваются друг к другу.

Согласно принципу неопределенности Гейзенберга, мы не можем приписать частице траекторию. Нильс Бор интерпретирует его радикально, утверждая, что квантовые явления невозможно представитьШаблон:Sfn. Диаграммы Фейнмана, кажется, противоречат этому утверждению, прямо показывая, что может происходить на атомном уровне. Аналогия со следами, оставляемыми частицами в пузырьковых камерах, подкрепляет эту идеюШаблон:Sfn. Однако эти диаграммы никоим образом не отображают физические событияШаблон:Sfn. Они могут даже вводить в заблуждение, потому что противоречат явлению, которое иллюстрируют: например, в рассеянии Баба электрон и позитрон притягиваются друг к другу, в то время как на их диаграмме линии в конечном итоге раздвигаются, и частицы, кажется, отталкиваются друг от другаШаблон:Sfn.

С физической точки зрения диаграмма Фейнмана соответствует бесконечному набору событий, сумме всех возможных и невозможных путей, представленных интегралом по траекториям. Более того, у неё нет масштаба, её вершины и линии не являются ни частицами, ни расстояниямиШаблон:Sfn. С математической точки зрения диаграммы, используемые в квантовой теории поля, представляют собой только члены суммы амплитуд вероятностей, аппроксимации в ряде теории возмущений. Такая диаграмма соответствует ненаблюдаемым событиям, называемым «виртуальными частицами»Шаблон:Sfn.

Ричард Фейнман предостерёг от образного использования его диаграмм. Он рассматривал их только как помощь в интерпретации уравнений теории поляШаблон:Sfn. Он также нашёл их забавными, когда начал их рисовать, и они не были интуитивно понятными, когда он представил их другим физикамШаблон:Sfn.

Однако их успех связан с тем, что они оказались ценным подспорьем для визуализации и манипулирования рядами теории возмущений, особенно потому, что каждый алгебраический член имеет соответствующую диаграмму ФейнманаШаблон:Sfn. Таким образом Джулиан Швингер выделил их образовательные и нефизические достоинстваШаблон:Sfn.

Если максимально упростить, то можно сказать, что диаграммы Фейнмана показывают рассеяние электронов и фотонов в абстрактной форме. Но большинство физиков избегают использования этой аналогииШаблон:Sfn .

Эти диаграммы иногда путают с диаграммами Минковского, существовавшими до фейнмановских и интуитивно описывающими свойства пространства-времени в специальной теории относительностиШаблон:Sfn.

Правила Фейнмана

Правила Фейнмана переводят диаграмму непосредственно во вклад <math>\mathcal{M}</math>, они ставят в соответствие каждому элементу алгебраический множитель, и произведение этих множителей даёт значение этого вклада (сумма вкладов даёт приблизительное значение <math>\mathcal{M}</math>)Шаблон:Sfn.

Для последующих алгебраических формул используется система естественных единиц, где приведённая постоянная Планка <math>\hbar</math> и скорость света <math>c</math> являются единицами, поэтому: <math>\hbar = 

c = 1</math>.

Квантовая электродинамика

Правила Фейнмана для расчета <math>-i\mathcal{M}</math> в квантовой электродинамикеШаблон:Sfn:

Категория Символ Спин Частица (ы) Коэффициент умножения
Внешние линии Файл:Feynman rules - external line - particle in - 200px.svg 0 входящий бозон 1
Файл:Feynman rules - external line - particle out - 200px.svg 0 исходящий бозон 1
Файл:Feynman rules - external line - antiparticle in - 200px.svg 0 входящий антибозон 1
Файл:Feynman rules - external line - antiparticle out - 200px.svg 0 исходящий антибозон 1
Файл:Feynman rules - external line - particle in - 200px.svg ½ входящий фермион <math>u</math>
Файл:Feynman rules - external line - particle out - 200px.svg ½ уходящий фермион <math>\bar u</math>
Файл:Feynman rules - external line - antiparticle in - 200px.svg ½ входящий антифермион <math>\bar v</math>
Файл:Feynman rules - external line - antiparticle out - 200px.svg ½ исходящий антифермион <math>v</math>
Файл:Feynman rules - external line - photon in - 200px.svg 1 входящий фотон <math>\epsilon_{\mu}</math>
Файл:Feynman rules - external line - photon out - 200px.svg 1 исходящий фотон <math>\epsilon^*_{\mu}</math>
Пропагаторы
(внутренние линии) 		Файл:Feynman rules - propagator - particle - 200px.svg 0 бозон <math>\frac{i}{q^2 - m^2}</math>
Файл:Feynman rules - propagator - particle - 200px.svg ½ фермион <math>\frac{i(q\!\!\!/ + m)}{q^2 - m^2}</math>
Файл:Feynman rules - propagator - photon - 200px.svg 1 безмассовая частица
(фотон) 		<math>\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2}</math>
Файл:Feynman rules - propagator - massive boson - 200px.svg 1 массивная частица
(бозон) 		<math>\frac{-i(g_{\mu\nu} - q_{\mu}q_{\nu}/m^2)}{q^2 - m^2}</math>
Вершина Файл:Feynman rules - vertex - 200px.svg <math>-ig_e\gamma^{\mu}</math>

Квантовая хромодинамика

Правила Фейнмана в квантовой хромодинамикеШаблон:Sfn:

Категория Символ Частица (ы) Коэффициент умножения
Внешние линии Файл:Feynman rules - external line - particle in - 200px.svg входящий кварк <math>u^{(s)}(p)c</math>
Файл:Feynman rules - external line - particle out - 200px.svg уходящий кварк <math>\bar u^{(s)}(p)c^{\dagger}</math>
Файл:Feynman rules - external line - antiparticle in - 200px.svg входящий антикварк <math>\bar v^{(s)}(p)c^{\dagger}</math>
Файл:Feynman rules - external line - antiparticle out - 200px.svg исходящий антикварк <math>v^{(s)}(p)c</math>
Файл:Feynman rules - QCD - external line - gluon in - 200px.svg входящий глюон <math>\epsilon_{\mu}(p)a^{\alpha}</math>
Файл:Feynman rules - QCD - gluon out - 200px.svg исходящий глюон <math>\epsilon^*_{\mu}(p)a^{\alpha*}</math>
Пропагаторы Файл:Feynman rules - propagator - particle - 200px.svg кварк или антикварк <math>\frac{i(q\!\!\!/ + m)}{q^2 - m^2}</math>
Файл:Feynman rules - QCD - propagator - gluon - 200px.svg глюон <math>\frac{-ig_{\mu\nu}\delta^{\alpha\beta}}{q^2}</math>
Вершина Файл:Feynman rules - QCD quark gluon vertex - 200px.svg кварк-глюон <math>\frac{-ig_s}{2}\lambda^\alpha\gamma^\mu</math>
Файл:Feynman rules - QCD 3 gluon vertex - 200px.svg 3 глюона <math>-g_{s}f^{\alpha\beta\gamma}[g_{\mu\nu}(k_1-k_2)_{\mu}</math> <math>+</math><math>g_{\nu\lambda}(k_2-k_3)</math><math>+</math><math>g_{\lambda\mu}(k_3-k_1)_{\nu}]</math>
Файл:Feynman rules - QCD 4 gluon vertex - 200px.svg 4 глюона <math>-ig_{s}^2[f^{\alpha\beta\eta}f^{\gamma\delta\eta}(g_{\mu\lambda}g_{\nu\rho}-g_{\mu\rho}g_{\nu\lambda})</math> <math>+</math><math>f^{\alpha\delta\eta}f^{\beta\gamma\eta}(g_{\mu\nu}g_{\lambda\rho}-g_{\mu\lambda}g_{\nu\rho})</math><math>+</math><math>f^{\alpha\gamma\eta}f^{\delta\beta\eta}(g_{\mu\rho}g_{\nu\lambda}-g_{\mu\nu}g_{\lambda\rho})]</math>

Слабое взаимодействие

Правила Фейнмана для слабого взаимодействияШаблон:Sfn:

Категория Символ Частица (ы) Коэффициент умножения
Вершина Файл:Feynman rules - QWS three vertex - W lepton neutrino - 200px.svg W-бозон, лептон и его нейтрино <math>\frac{-ig_w}{2\sqrt2}\gamma^\mu(1 - \gamma^5)</math>
Файл:Feynman rules - QWS three vertex - W quark quark - 200px.svg qi — это u-кварк, c-кварк или t-кварк,

qj — это d-кварк, s-кварк или b-кварк 		<math>\frac{-ig_w}{2\sqrt2}\gamma^\mu(1 - \gamma^5)U_{ij}</math>

(где U — это CKM-матрица)
Файл:Feynman rules - QWS three vertex - Z fermion fermion - 200px.svg Z0 бозон, f — кварк или лептон <math>\frac{-ig_z}{2}\gamma^\mu(c_V^f - c_A^f\gamma^5)</math>
<math>f</math> <math>C_V</math> <math>C_A</math>
<math>\nu_e</math>, <math>\nu_\mu</math>, <math>\nu_\tau</math> <math>\frac12</math> <math>\frac12</math>
<math>e^-</math>, <math>\mu^-</math>, <math>\tau^-</math> <math>-\frac12 + 2 \sin^2 \theta_w</math> <math>-\frac12</math>
<math>u</math>, <math>c</math>, <math>t</math> <math>\frac12 - \frac43 \sin^2 \theta_w</math> <math>\frac12</math>
<math>d</math>, <math>s</math>, <math>b</math> <math>-\frac12 + \frac23 \sin^2 \theta_w</math> <math>-\frac12</math>
Файл:Feynman rules - QWS three vertex ZWW - 200px.svg 3 бозона <math>ig_w\cos\theta_w [g_{\nu\lambda}(q_1-q_2)_\mu</math>

<math>+</math> <math>g_{\lambda\mu}(q_2-q_3)_\nu</math> <math>+</math> <math>g_{\mu\nu}(q_3-q_1)_\lambda]</math>

Файл:Feynman rules - QWS three vertex pWW - 200px.svg 2 W-бозона и фотон <math>ig_e [g_{\nu\lambda}(q_1-q_2)_\mu</math>

<math>+</math> <math>g_{\lambda\mu}(q_2-q_3)_\nu</math> <math>+</math> <math>g_{\mu\nu}(q_3-q_1)_\lambda]</math>

Файл:Feynman rules - QWS four vertex - WWZZ - 200px.svg 2 W-бозона и 2 Z-бозона <math>-ig_w^2\cos^2\theta_w (2g_{\mu\nu}g_{\lambda\sigma} - g_{\mu\lambda}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\lambda})</math>
Файл:Feynman rules - QWS four vertex - WWWW - 200px.svg 2 W+ бозона и 2 W- бозона <math>ig_w^2 (2g_{\mu\lambda}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\nu}g_{\lambda\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\lambda})</math>
Файл:Feynman rules - QWS four vertex - WWpp - 200px.svg 2 W-бозона и 2 фотона <math>-ig_e^2 (2g_{\mu\nu}g_{\lambda\sigma} - g_{\mu\lambda}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\lambda})</math>
Файл:Feynman rules - QWS four vertex - WWZp - 200px.svg 2 W-бозона, Z-бозон и фотон <math>-ig_e g_w \cos\theta_w (2g_{\mu\nu}g_{\lambda\sigma} - g_{\mu\lambda}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\lambda})</math>

Приложения

Большинство известных свойств частиц были определены экспериментами связанными с рассеянием частицШаблон:Sfn. Одной из целей диаграмм Фейнмана является вычисление теоретического эффективного сечения рассеяния и сравнения его с экспериментальными значениями. Как только правила Фейнмана установлены, достаточно применить этот рецепт к данному физическому процессу, чтобы вычислить его амплитуду: выбрать сталкивающиеся и вылетающие частицы, нарисовать все возможные диаграммы с нужной точностью, написать формулы для амплитуд каждой диаграммы, согласно правилам, и просуммировать все эти формулы, чтобы получить амплитуду процессаШаблон:Sfn.

Реакция <math>e^+ e^- \rightarrow \mu^+ \mu^-</math>

Файл:Electron-positron annihilation into muon-antimuon.svg
Аннигиляция пары электрон-позитрон, которая даёт пару мюон-антимюон, где <math>p</math>, <math>p'</math>, <math>q</math>, <math>k</math> и <math>k'</math> — четырёхимпульсы частиц.

Реакция аннигиляции электрон-позитронной пары, дающая пару мюон-антимюон, является простейшей и наиболее важной в квантовой электродинамикеШаблон:Sfn.

Амплитуда перехода этой реакции записывается:

<math>\mathcal{M} \sim \langle \mu^+ \mu^- \mid H_I \mid \gamma \rangle^{\mu} \langle \gamma \mid H_I \mid e^+e^- \rangle_{\mu}\,,</math>

где <math>\mid e^+e^- \rangle</math> — множитель, соответствующий внешним линиям диаграммы для позитрона и электрона, <math>\langle \mu^+ \mu^- \mid</math> — фактор для антимюона и мюона, <math>H_I</math> — вершины (часть оператора Гамильтона отвечающего за взаимодействия), <math>\mid \gamma \rangle \langle \gamma \mid</math>, оператор внутренней линии фотонаШаблон:Sfn.

Используя правила Фейнмана:

<math>\mathcal{M} = \overline{v}^{s'}({p'})(-ie\gamma^{\mu})u^s(p)

(\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2}) \overline{u}^{r}({k})(-ie\gamma^{\nu})v^{r'}(k')\,,</math>

где <math>u</math>, <math>v</math>, <math>\overline{u}</math> и <math>\overline{v}</math> — спиноры внешних линий, причем <math>s</math>, <math>s'</math>, <math>r</math>, и <math>r'</math> их спины, <math>-ie\gamma^{\mu}</math> и <math>-ie\gamma^{\nu}</math> — вершины (<math>H_I</math>) и <math>\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2}</math> соответствует линии фотона (оператор <math>\mid \gamma \rangle \langle \gamma \mid</math>)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Рассеяние Баба

Рассеяние Баба — это процесс рассеяния между элементарной частицей и её античастицей, то есть электроном и позитроном в квантовой электродинамикеШаблон:Sfn. Он описывается двумя диаграммами: классического рассеяния и аннигиляции с рождением парШаблон:Sfn.

Каналы <math>s</math> и <math>t</math> определяются переменными МандельштамаШаблон:Sfn. Благодаря правилам Фейнмана запишем для каждой диаграммы (и, следовательно, для каждого канала) матричный элемент:

<math> \mathcal M_s = \bar v(k) \mathrm i e \gamma^\mu u(p) \frac{\mathrm i g_{\mu\nu}}{(k + p)^2} \bar u(p') \mathrm i e \gamma^\nu v(k')\,,</math>
<math> \mathcal M_t = \bar v(k) \mathrm i e \gamma^\rho v(k') \frac{\mathrm i g_{\rho\sigma}}{(k' - k)^2} \bar u(p') \mathrm i e \gamma^\sigma u(p)\,,</math>

где <math>k</math> и <math>k'</math> — четырёхимпульсы позитрона, <math>p</math> и <math>p'</math> — электрона, <math>v</math> и <math>\bar v</math> — позитронные спиноры, <math>u</math> и <math>\bar u</math> — электронные, <math>\gamma^\mu</math>, <math>\gamma^\nu</math>, <math>\gamma^\rho</math> и <math>\gamma^\sigma</math> — матрицы ДиракаШаблон:Sfn.

Эффект Комптона

Эффект Комптона — это неупругое рассеяние фотона веществом. Следующие диаграммы дают представление о двух возможных порядках поглощения и испускания фотоновШаблон:Sfn.

Если мы напишем этот процесс <math>e^-(p)\gamma(k) \to e^-(p')\gamma(k')</math> с участием <math>\epsilon</math> исходный фотон и <math>\epsilon'</math> рассеянный фотон, то правила Фейнмана дают для амплитуд двух диаграммШаблон:SfnШаблон:Sfn:

<math> \mathcal M_1 = \bar u(p') (-ie\gamma^\mu) \frac{i(q\!\!\!/ + m)}{q^2 - m^2} (-ie\gamma^\mu) u(p) \epsilon'_\mu \epsilon_\nu\,,</math>
<math> \mathcal M_2 = \bar u(p') (-ie\gamma^\mu) \frac{i(q\!\!\!/ + m)}{q^2 - m^2} (-ie\gamma^\mu) u(p) \epsilon'_\nu \epsilon_\mu\,.</math>

Рассеяние Мёллера

Шаблон:Iw описывает рассеяние двух электронов: <math>e^- e^- \rightarrow e^- e^-</math>, и включает каналы <math>t</math> и <math>u</math> МандельштамаШаблон:Sfn.

Лэмбовский сдвиг

Лэмбовский сдвиг представляет собой разницу между двумя определёнными уровнями тонкой структуры атома водорода <math>2S_{1/2}</math> и <math>2P_{1/2}</math>. Первые три вклада в этот сдвиг представлены следующими диаграммами, дающими по порядку перенормировку массы электрона, его аномального магнитного момента и поляризации вакуума, что в сумме дают Шаблон:Число по сравнению с предсказанием для сдвига из уравнения Дирака, которое даёт вырождение[3].

  • Первые три вклада в лэмбовский сдвиг
  • 1017 MHz

    1017 MHz

  • 68 MHz

    68 MHz

  • -27 MHz

    -27 MHz

Квантовые флуктуации вакуума

Файл:Feynman Diagram - Self-energy 1.svg
Взаимодействие электрона с квантовыми флуктуациями в вакууме.
Файл:Feynman-loop2.svg
Собственно-энергетическая часть фотонаШаблон:Sfn .

Фотоны, излучаемые, а затем повторно поглощаемые одним и тем же электроном, являются виртуальными фотонами из-за взаимодействия с квантовыми флуктуациями в вакууме. Следующие диаграммы также представляют собственно-энергетические части электрона с несколькими петлямиШаблон:Sfn.

Реакция <math>e^+ e^- \rightarrow </math> адроны

Файл:Electron annihilation to hadrons - leading order.svg
Электрон-позитронная аннигиляция и рождение кварков.

В квантовой хромодинамике электрон-позитронная аннигиляция, которая рождает пару кварков, включает в качестве первой поправки три различные диаграммы, все с обменом глюономШаблон:Sfn.

Критика и другие теории

Диаграммы Фейнмана используются для расчёта амплитуд рассеяния уже более 60 лет, но, несмотря на их эффективность, они не позволяют справиться со сложными реакциями даже на самых современных компьютерах: количество членов, необходимых для учёта более высокого порядка теории возмущений, увеличивается экспоненциально. Новая методика под названием «метод унитарности» преодолевает эту проблемуШаблон:Sfn. В квантовой хромодинамике анализ рассеяния двух глюонов, дающий три глюона, оказался слишком сложен на языке диаграмм. Этот новый метод даёт простую формулу, которая умещается на странице и позволяет понять реакцию, используя принцип унитарности, принцип, неявный в диаграммах Фейнмана, поскольку он маскируется сложностью вычислений. Хотя этот принцип использовался в 1960-х годах, он был выдвинут этой новой техникой. Это позволяет избежать необходимости прибегать к виртуальным частицам, источнику сложности диаграмм: когда метод Фейнмана складывает все возможные диаграммы реакции, включая те, которые кажутся невозможными, даже если они в конечном итоге компенсируют друг друга, метод унитарности рассматривает только полезные реакцииШаблон:Sfn.

Использование вне элементарных взаимодействий

Формализм диаграмм Фейнмана, в их графическом представлении или в виде лежащих в их основе математических идеях, используется во многих областях физикиШаблон:Sfn.

В ядерной физике процессы близки к элементарным взаимодействиям. Уравнения и измерения аналогичны, поскольку амплитуды также рассчитываются для проверки сеченийШаблон:Sfn.

Точно так же в физике конденсированного состояния, наиболее важной подобластью которой является физика твердого тела, теоретическое описание использует объекты, называемые квазичастицами, которые могут быть описаны функциями Грина и, следовательно, пропагаторами, как для элементарных частиц. Таким образом, эти взаимодействия рассчитываются с помощью диаграмм ФейнманаШаблон:Sfn.

В искусстве

Файл:The Bat Jar Conjecture Feynman diagram.svg
Схема, использованная в сериале «Теория большого взрыва».

Ричард Фейнман купил пикап в 1975 году и зарегистрировал номер QANTUM. На машине он нарисовал придуманные им схемы. Пикап, проданный женой, после смерти учёного, продолжал использоваться. Шеймус Блэкли купил машину в 2012 году и переделал стёртые диаграммы, чтобы пересечь Соединённые Штаты с передвижной выставкой, организованной Эдвардом Тафти и лабораторией Ферми[4][5].

Этот пикап появился в 2015 году в третьем эпизоде девятого сезона телесериала «Теория большого взрыва» под названием «Коррозия мальчишника»[6][7]. В этой серии, в которой участвуют два физика, много ссылок на Фейнмана и несколько раз показаны его диаграммы; электронно-мюонная реакция появляется, в частности, в тринадцатом эпизоде первого сезона, «Теория Большого взрыва (сезон 1)», чтобы решить исход состязания между двумя командами-финалистами физического конкурса[8].

Инженер-физик Эндрю Чараламбус (Шаблон:Lang-en) создал множество произведений искусства, изображающих диаграммы Фейнмана, как из-за энтузиазма, так и для их популяризации[9][10].

Содержащиеся в диаграммах идеи, такие как античастицы, представленные указывающими в противоположном направлении времени стрелками, вдохновили нескольких писателей-фантастов: концепция обратной причинности, обоснованная теорией Фейнмана, появляется в романе Стивена Бакстера «Время» для передачи сообщений в прошлое или в фильме «Детонатор» Шейна Кэррута для путешествий во времени[11][12].

Примечания и ссылки

Комментарии

Шаблон:Примечания

Примечания

Шаблон:Примечания

Библиография

Книги и статьи

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Конференции и видео

Связанная статья

Внешняя ссылка

Шаблон:Ричард Фейнман

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное


Ошибка цитирования Для существующих тегов <ref> группы «Note» не найдено соответствующего тега <references group="Note"/>

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Книга:Физическая энциклопедия
  2. ↑ Шаблон:Cite journal
  3. ↑ Шаблон:Cite journal.
  4. ↑ Шаблон:Cite web.
  5. ↑ Шаблон:Cite web.
  6. ↑ Шаблон:Cite web.
  7. ↑ Шаблон:Cite web.
  8. ↑ Шаблон:Cite web.
  9. ↑ Шаблон:Cite web
  10. ↑ Шаблон:Cite web.
  11. ↑ Шаблон:Cite web.
  12. ↑ Шаблон:Cite web.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Диаграммы_Фейнмана&oldid=9741311