Русская Википедия:Дигамма-функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Digamma function plot.png

Дигамма-функция <math>\psi(x)</math>

В математике дига́мма-фу́нкция <math>{\textstyle{\psi(x)}}</math> определяется как логарифмическая производная гамма-функции:

<math>\psi(x) = \frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)} = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.</math>

Она является полигамма-функцией первого порядка, а полигамма-функции высших порядков (тригамма-функция и т.д.) получаются из неё дифференцированием.

Свойства

• Дигамма-функция связана с гармоническими числами соотношением

  <math>\displaystyle{\psi(n) = H_{n-1} - \gamma},</math>

где <math>{\textstyle{H_n}}</math> — <math>n</math>-е гармоническое число, а <math>{\textstyle{\gamma}}</math> — постоянная Эйлера — Маскерони.

• Формула дополнения

  <math> \displaystyle{\psi(1-x) - \psi(x) = \pi \operatorname{ctg}(\pi x)} </math>

• Рекуррентное соотношение

  <math> \psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x} </math>

• Разложение в бесконечную сумму

  <math> \psi(x) = \ln x - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}} </math>

где <math> \zeta(x) </math> — дзета-функция Римана.

• Логарифмическое разложение

  <math> \psi(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\ln(x+k) </math>

• Теорема Гаусса

  <math> \frac{\Gamma'(p/q)}{\Gamma(p/q)} = -\gamma - \ln(2q) - \frac{\pi}{2}\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi p}{q}\right) + 2 \sum_{0<n<q/2}\cos\left(\frac{2\pi p n}{q}\right)\ln\sin\left(\frac{\pi n}{q}\right)</math>

при целых <math> p, q </math> с условием <math> 0 < p < q </math>.

• Для всех <math>z \neq -1, -2, -3, \ldots</math> справедливо разложения в ряд:

  <math>\psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)}.</math>

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Свойства дигамма-функцииШаблон:Ref-en