Шаблон:К улучшению
Доверительный интервал для математического ожидания — интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности.
Случай известной дисперсии
Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)</math> — независимая выборка из нормального распределения, где <math>\sigma^2</math> — известная дисперсия. Определим произвольное <math>\alpha \in [0,1]</math> и построим доверительный интервал для неизвестного среднего <math>\mu</math>.
Утверждение. Случайная величина
- <math>Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}</math>
имеет стандартное нормальное распределение <math>\mathrm{N}(0,1)</math>. Пусть <math>z_{\alpha}</math> — это <math>\alpha</math>-квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:
- <math>\mathbb{P}\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}} \le Z \le z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) = 1-\alpha</math>.
После подстановки выражения для <math>Z</math> и несложных алгебраических преобразований получаем:
- <math>\mathbb{P}\left( \bar{X} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math>.
Случай неизвестной дисперсии
Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)</math> — независимая выборка из нормального распределения, где <math>\mu,\sigma^2</math> — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего <math>\mu</math>.
Утверждение. Случайная величина
- <math>T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}</math>,
где <math>S</math> — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с <math>n-1</math> степенями свободы <math>\mathrm{t}(n-1)</math>. Пусть <math>t_{\alpha,n-1}</math> — <math>\alpha</math>-квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:
- <math>\mathbb{P}\left(-t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1} \le T \le t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}\right) =1-\alpha</math>.
После подстановки выражения для <math>T</math> и несложных алгебраических преобразований получаем:
- <math>\mathbb{P}\left( \bar{X} - t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math>.
Шаблон:Statistics-stub
Шаблон:Нет иллюстрации
Шаблон:Нет ссылок
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|