Окончил 6 классов средней школы № 1[1]. Работал на радиоузле. В 1938 году уехал на Чёрное море, где окончил мореходное училище имени Седова в Ростове-на-Дону, работал в Азовском морском пароходстве. В Военно-Морском Флоте с 1941 года.
Участник Великой Отечественной войны с 1941. Член КПСС с 1942 года. Командир мотобота № 17 (по другим данным № 6[2]) дивизиона десантных мотоботов, Новороссийской ВМБ, Черноморского флота, комсомолец старшина 2 статьи Алексей Елизаров участвовал в Новороссийской десантной операции. Особо отличился в ноябре 1943 при форсировании Керченского пролива. Совершил 17 рейсов, доставляя десантников, боеприпасы, продовольствие в район высадки.
Указом Президиума Верховного Совета СССР «О присвоении звания Героя Советского Союза офицерскому, старшинскому и рядовому составу Военно-Морского флота» от 22 января 1944 года за «форсирование Керченского пролива, высадку десантных войск и переброску техники на Керченский полуостров и проявленные при этом отвагу и геройство» удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда»[3].
В 1947 году был демобилизован. После этого работал старшим помощником капитана в Дунайском пароходстве, начальником причала Сочинского морского порта в Хосте.