Русская Википедия:Задача Штурма — Лиувилля

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке <math>(a,\;b)</math> уравнения Штурма — Лиувилля

<math>L[y]=\lambda\rho(x)y(x),</math>

удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

<math>\begin{array}{l}

\alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0; \\ \end{array}</math> и значений параметра <math>\lambda</math>, при которых такие решения существуют.

Оператор <math>L[y]</math> здесь — это действующий на функцию <math>y(x)</math> линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

<math>L[y]\equiv\frac{d}{dx}\left[-p(x)\frac{dy}{dx}\right]+q(x)y(x)</math>

(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), <math>x</math> — вещественный аргумент.

Функции <math>p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho(x)</math> предполагаются непрерывными на <math>(a,\;b)</math>, кроме того функции <math>p(x),\;\rho(x)</math> положительны на <math>(a,\;b)</math>.

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения <math>\lambda</math>, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Постановка задачи

Вид уравнения

Если функции <math>\rho</math> и <math>p</math> дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке <math>[a, b]</math> и функция <math>q</math> непрерывна на <math>[a,\;b]</math>, то уравнение Штурма — Лиувилля вида

<math>(p(x)y')' - q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0</math>

при помощи преобразования Лиувилля приводится к видуШаблон:Sfn Шаблон:Sfn

<math>-y + q_1(x)y = \lambda y. \qquad (1)</math>

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию <math>q_1(x)</math> называют потенциаломШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными, <math>L</math> (суммируемыми), <math>L_2</math> и других.

Виды краевых условий

Условия Дирихле <math> y(a) = y(b) = 0. </math>
Условия Неймана <math> y'(a) = y'(b) = 0 </math>
Условия Робена <math>y'(a) - h y(a) = 0, \quad y'(b) + H y(b) = 0.</math>
Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка <math>[a,\; b]</math>.
Распадающиеся краевые условия общего вида

<math>\begin{array}{l}

\alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0. \\ \end{array}</math>

Периодические условия <math>y(a) = y(b), \quad y'(a) = y'(b)</math>.
Антипериодические условия <math>y(a) = -y(b), \quad y'(a) = -y'(b)</math>.
Общие краевые условия

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты <math>a_{ij}</math>.Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn

Для удобства произвольный отрезок <math>[a,\; b]</math> часто переводят в отрезок <math>[0,\; l]</math> или <math>[0,\;\pi]</math> с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — Лиувилля

<math>L y = -\frac{1}{\rho(x)} \Bigl( \frac{d}{dx}\left[ p(x) \frac{d}{dx}y \right] - q(x) y \Bigr)</math>

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора Шаблон:Sfn

<math> p_0(x) y^{(n)} + p_1(x) y^{(n-1)} + \ldots + p_n(x) y. </math>

Область определения оператора <math>L</math> состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке <math>[a,\;b]</math> функций <math>y</math>, удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора <math>L</math>: <math>L y = \lambda y</math>. Если функции <math>p,\ q,\ \rho</math> и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор <math>L</math> является самосопряжённым в гильбертовом пространстве <math>L_2([a,\;b],\;\rho(x)\, dx)</math>. Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом <math> \rho(x) </math>.

Решение задачи

Пример

Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:

<math>-y = \lambda y, \qquad (2)</math>

может быть найдено в явном видеШаблон:Sfn. Пусть <math>\lambda = \rho^2</math>. Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном <math>\lambda</math> имеет вид

<math>y(x) = A \frac{\sin \rho x}{\rho} + B \cos \rho x \qquad (3)</math>

(в частности, при <math>\rho = 0</math> (3) дает <math>y(x) = Ax + B</math>). Из <math>y(0) = 0</math> следует <math>B = 0</math>. Подставляя (3) в краевое условие <math>y(l) = 0</math>, получаем <math> A \frac{\sin \rho l}{\rho}= 0</math>. Так как мы ищем нетривиальные решения, то <math>A \ne 0</math>, и мы приходим к уравнению на собственные значения

Его корни <math> \rho_n = \frac{\pi n}{l}</math>, следовательно, искомые собственные значения имеют вид

<math>\lambda_n = \left( \frac{\pi n}{l}\right)^2, \quad n = 1,\; 2,\; 3,\; \ldots</math>

а соответствующие им собственные функции суть

<math>y_n(x) = \sin \frac{\pi n}{l}x, \quad n = 1,\; 2,\; 3,\; \ldots</math>

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случай

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

<math>-y + q(x)y = \lambda y \qquad (4)</math>

представимо в виде линейной комбинации

<math>y(x) = A S(x,\; \lambda) + B C(x,\; \lambda) \qquad (5)</math>

его решений <math>S(x,\; \lambda)</math> и <math>C(x,\; \lambda)</math>, удовлетворяющих начальным условиям

<math> S(0,\; \lambda) = C'(0,\; \lambda) = 0, \quad S'(0,\; \lambda) = C(0,\; \lambda) = 1</math>.

Решения <math>S(x,\; \lambda)</math> и <math>C(x,\; \lambda)</math> образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по <math>\lambda</math> при каждом фиксированном <math>x</math>. (При <math>q(x) \equiv 0</math> <math>S(x,\; \lambda) = \sin \rho x</math>, <math>C(x,\; \lambda) = \cos \rho x</math>, <math>\rho = \sqrt \lambda</math>). Подставляя (5) в краевые условия <math>y(0) = y(\pi) = 0</math>, получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

<math> \Delta(\lambda) = S(\pi,\; \lambda), </math>

аналитической во всей <math>\lambda</math>-плоскости.Шаблон:Sfn

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

<math>\sqrt \lambda_n = n + \frac{c}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right), \quad c = \frac{1}{2\pi} \int_0^{\pi} q(\tau) \, d \tau,</math>

<math> y_n(x) = \sin n x + O\left(\frac{1}{n^2}\right), </math>

(в случае непрерывного на <math>[0,\; \pi]</math> потенциала <math>q(x)</math>).Шаблон:Sfn При больших <math>n</math> собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функций

Существует бесконечное счетное множество собственных значений: <math>\lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n < \ldots</math>
Каждому собственному значению <math>\lambda_n</math> соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция <math>y_n</math>.
Все собственные значения вещественны.
В случае граничных условий <math>y(a)=y(b)=0</math> и при выполнении условия <math>q(x)\geqslant 0</math> все собственные значения положительны <math>\lambda_n>0</math>.
Собственные функции <math>y_n(x)</math> образуют на <math>[a,\;b]</math> ортогональную с весом <math>\rho(x)</math> систему <math>\{y_n(x)\}</math>:

<math>\int\limits_a^b y_n(x)y_m(x)\rho(x)\,dx=0,\quad n\neq m.</math>

Имеет место теорема Стеклова.

Численные методы решения

Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле <math>y(a) = y(b) = 0</math>, можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями <math>u(a) = 0</math>, <math>u'(a) = \lambda</math> и вести пристрелку параметра <math>\lambda</math> до выполнения правого краевого условия.Шаблон:Sfn
Метод конечных разностей Шаблон:Sfn^[1]. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция <math>y = \{ y_0,\; y_1,\; \ldots,\; y_N \}</math> дополняется компонентой <math>y_{N + 1} = \lambda</math>. Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.Шаблон:Sfn
Метод Галёркина.Шаблон:Sfn
Вариационные методы.^[2]

Применение к решению уравнений в частных производных

Шаблон:Main

Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных.

В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа:

<math>\rho(x)u_{tt} = (k(x)u_x)_x - q(x)u, \quad 0 < x < l, \; t > 0, \qquad (6) </math>

<math>(h_1 u_x - h u)_{|x = 0} = 0, \quad (H_1 u_x + H u)_{|x = l} = 0, \qquad (7)</math>

<math>u_{|t = 0} = \Phi(x), \quad u_{t|t = 0} = \Psi(x). \qquad (8) </math>

Здесь <math>x</math> и <math>t</math> — независимые переменные, <math>u(x,\; t)</math> — неизвестная функция, <math>\rho</math>, <math>k</math>, <math>q</math>, <math>\Phi</math>, <math>\Psi</math> — известные функции, <math>h,\ h_1,\ H,\ H_1</math> — вещественные числа.Шаблон:Sfn Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде

<math>u(x, t) = Y(x)T(t). \qquad (9) </math>

Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает

Так как <math>x</math> и <math>t</math> — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через <math>-\lambda</math>. Получаем

<math>T(t) + \lambda T(t) = 0, \qquad (10) </math>

<math>-(k(x)Y'(x))' + q(x) Y(x) = \lambda \rho(x) Y(x), \quad 0 < x < l. \qquad (11) </math>

Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает

<math>h_1 Y'(0) - h Y(0) = 0, \quad H_1 Y'(l) + H Y(l) = 0. \qquad (12) </math>

Нетривиальные решения (6) — (7) вида (9) существуют только при значениях <math>\lambda</math>, являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11) — (12) <math>\lambda_n</math>. Эти решения имеют вид <math> T_n(t) Y_n(x)</math>, где <math>Y_n(x)</math> — собственные функции задачи (11) — (12), <math>T_n(t)</math> — решения уравнения (10) при <math>\lambda = \lambda_n</math>. Решение задачи (6) — (8) находится в виде суммы частных решений (ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля <math>Y_n(x)</math>):

<math>u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) Y_n(x).</math>

Обратные задачи Штурма — Лиувилля

Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала <math>q(x)</math> оператора Штурма — Лиувилля <math>-y + q(x)y</math> и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам.Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их обобщения имеют приложения в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Существует важный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (например, уравнения КдФ), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси (<math> -\infty < x < \infty </math>).

Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:

Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве <math>L_2</math>.
Функцию Вейля — мероморфную функцию, равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.

Каждый из наборов данных 1 — 3 однозначно определяет потенциал <math>q(x)</math>. Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1 — 3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах.Шаблон:Sfn

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Математическая физика

[1] Шаблон:Книга

[2] Шаблон:Книга

[1]

[2]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.