Русская Википедия:Золотая спираль
Золотая спираль — логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен Шаблон:Mvar4, где Шаблон:Mvar — золотое сечение. Коэффициент роста логарифмической спирали показывает, во сколько раз изменился полярный радиус спирали при повороте на угол 360°[1]. Своё название эта спираль получила из-за связи с последовательностью вложенных друг в друга прямоугольников с отношением сторон, равным Шаблон:Mvar, которые принято называть золотыми. Золотую спираль можно как вписать в систему таких прямоугольников, так и описать вокруг неё. Популярность золотая спираль приобрела из-за того, что известная с начала XVI века и применяющаяся в искусстве[2] спираль, построенная по методу Дюрера[3][4], оказалась хорошей аппроксимацией для золотой спирали (см. рисунок).
Формула
Уравнение для золотой спирали в полярной системе координат то же самое, что и для других логарифмических спиралей, но со специальным значением коэффициента роста - Шаблон:Mvar4:
- <math>r = a\varphi^{\pm \frac{2\theta}{\pi}}</math>,
где Шаблон:Mvar — произвольная положительная вещественная константа, а <math>\varphi = \frac{ \sqrt{5} +1}{2}</math> — золотое сечение.
Основное свойство логарифмической спирали: угол между радиус-вектором, исходящим из полюса, и касательной к спирали - μ - постоянен, и для золотой спирали определяется формулой:
- <math>\operatorname{tg} \mu = \dfrac{r}{r'}=\dfrac{\pi}{2\ln\varphi}</math>, где <math>r'=\dfrac{dr}{d\theta}\begin{array}{|c|c|c|} a & b & S \\ \hline 0&0&1\\ 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\\ \end{array}\underbrace{ a+b+\cdots+z }_{26}{}_pF_q\left({a_1, \ldots, a_p \atop b_1, \ldots, b_q}; z\right)</math>.
Откуда <math>\mu \approx 73^\circ </math>.
Приближения золотой спирали
Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиральюШаблон:Sfn, с которой их часто путают.
Как уже было написано выше, при вписывании золотой спирали в последовательность вложенных друг в друга золотых прямоугольников, она аппроксимируется спиралью, построенной по методу Дюрера. Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный ему прямоугольник, его, в свою очередь, разделить тем же образом, и продолжать этот процесс произвольное число раз. Если в эти квадраты вписать соединённые между собой четвертинки окружностей, то получается спираль, изображенная на первом рисунке.
Ещё одной аппроксимацией является спираль Фибоначчи, которая строится подобно вышеописанной спирали, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов (см. второй рисунок).
Спирали в природе
В природе встречаются приближения к логарифмическим спиралям с коэффициентом роста равным Шаблон:Mvark. Так раковины моллюсков Nautilus pompilius и окаменелых аммонитов хорошо описываются при k = 2, а раковины некоторых улиток при k = 1.[5] Отношение длин трёх витков спирали уха у человека равно Шаблон:Mvar[6], что соответствует спирали с k = 1. Рукава спиральных галактик, несмотря на существующие утвержденияШаблон:Sfn, если и описываются логарифмической, то не золотой спиралью. В данном случае, описание ею является проявлением случайной близости. Недавний анализ спиралей, встречающихся в роговичном эпителии мышей, показал, что там встречаются как золотая, так и другие логарифмические спирали.Шаблон:Sfn
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Шаблон:Кривые Шаблон:Золотое сечение
- ↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1977, с. 884.
- ↑ Прохоров А. Золотая спираль, Квант, 1984, №9.
- ↑ Аракелян. Г. Математика и история золотого сечения, М.: Логос, 2014, с. 50.
- ↑ Albrecht Durer (1525): Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, in Linien Ebnen und gantzen Corporen. Verlag Dr. Alfons Uhl (Reprint 2000), Nordlingen, ISBN 3 921503 65 5 (Engl. Transl.: The Painter’s Manual, Abaris Books, New York 1977).
- ↑ А.Н. Ковалев, Еще раз о золотых спиралях // Академия Тринитаризма, М., Эл № 77-6567, публ.23545, 13.07.2017 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/3352-kv.pdf Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Книга
