Русская Википедия:Икосаэдрическая пирамида
| Икосаэдрическая пирамида | |
|---|---|
| Файл:Icosahedral pyramid.png Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной икосаэдрической пирамиды в трёхмерное пространство | |
| Тип | Шаблон:Не переведено 5 |
| Символ Шлефли | ( ) ∨ {3,5} |
| Ячеек | 21 |
| Граней | 50 |
| Рёбер | 42 |
| Вершин | 13 |
| Двойственный политоп | Додекаэдрическая пирамида |
Икосаэдри́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): Шаблон:Не переведено 5, имеющая основанием икосаэдр.
Описание
Ограничена 21 трёхмерной ячейкой — 20 тетраэдрами и 1 икосаэдром. Икосаэдрическая ячейка окружена всеми двадцатью тетраэдрическими; каждая тетраэдрическая ячейка окружена икосаэдрической и тремя тетраэдрическими.
Её 50 двумерных граней — треугольники. 20 граней разделяют икосаэдрическую и тетраэдрическую ячейки, остальные 30 — две тетраэдрических.
Имеет 42 ребра. На 30 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (икосаэдрическая и две тетраэдрических), на остальных 12 — по пять граней и по пять ячеек (только тетраэдрические).
Имеет 13 вершин. В 12 вершинах сходятся по 6 рёбер, по 10 граней и по 6 ячеек (икосаэдрическая и пять тетраэдрических); в 1 вершине — 12 рёбер, 30 граней и все 20 тетраэдрических ячеек.
Равногранная икосаэдрическая пирамида
Если все рёбра икосаэдрической пирамиды имеют равную длину <math>a</math>, её грани являются одинаковыми правильными треугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как
- <math>V_4 = \frac{5}{96}\left(1+\sqrt5\right)a^4 \approx 0{,}1685452a^4,</math>
- <math>S_3 = \frac{5}{12}\left(3+4\sqrt2+\sqrt5\right)a^3 \approx 4{,}5387176a^3.</math>
Высота пирамиды при этом будет равна
- <math>H = \frac{1}{4}\left(\sqrt5-1\right)a \approx 0{,}3090170a,</math>
радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) —
- <math>R = \frac{1}{2}\left(1+\sqrt5\right)a \approx 1{,}6180340a,</math>
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho_1 = \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt5}\;a \approx 1{,}5388418a,</math>
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
- <math>\rho_2 = \frac{1}{6}\left(\sqrt{15}+3\sqrt3\right)a \approx 1{,}5115226a,</math>
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —
- <math>r = \frac{\left(4\sqrt2-5\right)\left(2+\sqrt5\right)-1}{12}\;a \approx 0{,}1485399a.</math>
Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды, центры описанной и обеих полувписанных гиперсфер — в одной и той же точке вне пирамиды.
Такую пирамиду можно получить, взяв выпуклую оболочку любой вершины шестисотячейника и всех 12 соседних вершин, соединённых с ней ребром.
Угол между двумя смежными тетраэдрическими ячейками будет равен <math>\arccos\left(-\frac{1+3\sqrt5}{8}\right) \approx 164{,}48^\circ,</math> как и в шестисотячейнике. Угол между икосаэдрической ячейкой и любой тетраэдрической будет равен <math>\arccos\frac{\sqrt{7+3\sqrt5}}{4} \approx 22{,}24^\circ.</math>
В координатах
Равногранную икосаэдрическую пирамиду с длиной ребра <math>2</math> можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты
- <math>\left(0;\;\pm1;\;\pm\Phi;\;0\right),</math>
- <math>\left(\pm\Phi;\;0;\;\pm1;\;0\right),</math>
- <math>\left(\pm1;\;\pm\Phi;\;0;\;0\right),</math>
- <math>\left(0;\;0;\;0;\;\Phi^{-1}\right),</math>
где <math>\Phi = \frac{1+\sqrt5}{2}</math> — отношение золотого сечения.
Ссылки
- Richard Klitzing. Icosahedral pyramid
