Русская Википедия:Интегральное уравнение Фредгольма
Интегральное уравнение Фре́дгольма[1] — интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо по имени шведского математика Ивара Фредгольма. Со временем исследование уравнения Фредгольма выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.
Общая теория
Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида
<math>\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt</math>
где функция <math>K</math> называется ядром уравнения, а оператор <math>A</math>, определяемый как
<math>A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt</math>, называется оператором (или интегралом) Фредгольма.
Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.
Уравнение первого рода
Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:
- <math>g(t)=\int\limits_a^b\!K(t,s)f(s)\,ds</math>
а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра <math>K(t,s)</math> и функции <math>g(t)</math> найти функцию <math>f(s)</math>.
Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть <math>K(t,s)=K(t-s)</math>, и пределы интегрирования <math>\pm \infty</math>, тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций <math>K</math> и <math>f</math>, а, следовательно, решение даётся формулой
- <math>f(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\left[
{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t)](\omega)} \right]=\int\limits_{-\infty}^\infty\!{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t}\,d\omega </math>
где <math>\mathcal{F}_t</math> и <math>\mathcal{F}_\omega^{-1}</math> — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно. Необходимые и достаточные условия существования решения определяет теорема Пикара.
Уравнение второго рода
Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:
- <math>\varphi(s) = \lambda \int\limits_a^b\! K(s, t) \varphi(t)\,dt + f(s)</math>.
Задача состоит в том, чтобы, имея ядро <math>K(t, s)</math> и функцию <math>f(t)</math>, найти функцию <math>\varphi(t)</math>. При этом существование решения и его множественность зависит от числа <math>\lambda </math>, называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным). Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля — Неймана.
Примечания
Ссылки
- Интегральные уравнения: Точные решения — из EqWorld: Мир математических уравнений.
- Интегральные уравнения: Методы решения — из EqWorld: Мир математических уравнений.
Рекомендуемая литература
А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.
