Русская Википедия:Интегро-дифференциальные уравнения
Интегро-дифференциальные уравнения — класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала или производной.
- <math>{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])dy=f(x)</math>
где
- <math>{L}_{n}[\varphi (x)]=\frac{{d}^{n}\varphi (x)}{{dx}^{n}}+{a}_{1}(x)\frac{{d}^{n-1}\varphi (x)}{{dx}^{n-1}}+...+{a}_{n}(x)\varphi (x)</math> называется внешним дифференциальным оператором, а
- <math>{P}_{m}[\varphi (y)]=\frac{{d}^{m}\varphi (y)}{{dy}^{m}}+{b}_{1}(y)\frac{{d}^{m-1}\varphi (y)}{{dy}^{m-1}}+...+{b}_{m}(y)\varphi (y)</math> — внутренним дифференциальным оператором
- <math>K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])</math> — ядро интегро-дифференциального уравнения
Некоторые интегро-дифференциальные уравнения можно свести к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве, однако существуют эволюционные интегро-дифференциальные уравнения (встречающиеся в теории упругости и моделях биологических процессов), содержащие интегрирование по времени, для которых это сделать сложно.
Классификация интегро-дифференциальных уравнений
Линейные интегральные уравнения
Линейными интегро-дифференциальными уравнениями называется уравнения, в которые внутренний дифференциальный оператор входит линейно:
- <math>{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)</math>
Уравнения Фредгольма
Шаблон:Main Линейным интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма называется уравнение с постоянными пределами интегрирования
Уравнения Фредгольма 1-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида:
- <math>\lambda \int_{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f\left(x\right)</math>
Уравнения Фредгольма 2-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида:
- <math>{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)</math>
Уравнения Вольтерры
Линейным интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры называется уравнение с переменным верхним пределом интегрирования
Уравнения Вольтерры 1-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 1-го рода называется уравнение вида:
- <math>\lambda \int_{a}^{x}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f\left(x\right)</math>
Уравнения Вольтерры 2-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 2-го рода называется уравнение вида:
- <math>{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{x}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)</math>
Нелинейные интегральные уравнения
Нелинейным уравнением Фредгольма называется интегро-дифференциальное уравнение, в которое внутренний дифференциальный оператор входит нелинейно:
- <math>{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])dy=f(x)</math>
Методы решения интегро-дифференциальных уравнений
См. также
Литература
- Г. А. Шишкин, Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма. Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару. Издательство Бурятского госуниверситета 2007.
