Русская Википедия:Квадратная матрица

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Arbitrary square matrix.gif
Квадратная матрица четвёртого порядка. Элементы aii образуют главную диагональ квадратной матрицы. Например, главная диагональ 4х4 матрицы на рисунке содержит элементы a11 = 9, a22 = 11, a33 = 4, a44 = 10.

В математике квадра́тная ма́трица — это матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, и это число называется порядком матрицы. Любые две квадратные матрицы одинакового порядка можно складывать и умножать.

Квадратные матрицы часто используются для представления простых линейных отображений — таких, как Шаблон:Не переведено 5 или поворот. Например, если R — квадратная матрица, представляющая вращение (матрица поворота) и v — вектор-столбец, определяющий положение точки в пространстве, произведение Rv даёт другой вектор, который определяет положение точки после вращения. Если v — вектор-строка, такое же преобразование можно получить, используя vRT, где RT — транспонированная к R матрица.

Главная диагональ

Шаблон:Main Элементы aii (i = 1, …, n) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Эти элементы лежат на воображаемой прямой, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний угол матрицыШаблон:Sfn. Например, главная диагональ 4х4 матрицы на рисунке содержит элементы a11 = 9, a22 = 11, a33 = 4, a44 = 10.

Диагональ квадратной матрицы, проходящая через нижний левый и верхний правый углы, называется побочной.

Специальные виды

Название Пример с n = 3
Диагональная матрица <math> 
     \begin{bmatrix}
          a_{11} & 0 & 0 \\
          0 & a_{22} & 0 \\
          0 & 0 & a_{33}
     \end{bmatrix}
 </math>
Нижняя треугольная матрица <math> 
     \begin{bmatrix}
          a_{11} & 0 & 0 \\
          a_{21} & a_{22} & 0 \\
          a_{31} & a_{32} & a_{33}
     \end{bmatrix}
 </math>
Верхняя треугольная матрица <math> 
     \begin{bmatrix}
          a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
          0 & a_{22} & a_{23} \\
          0 & 0 & a_{33}
     \end{bmatrix}
 </math>

Диагональные и треугольные матрицы

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной. Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей. Треугольная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется унитреугольнойШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Единичная матрица

Единичная матрица En размера n — это n×n матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны 0 (часто вместо буквы E используют букву IШаблон:Sfn)Шаблон:Sfn. Таким образом,

<math>

E_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ E_2 = \begin{bmatrix} 

        1 & 0 \\
        0 & 1 
     \end{bmatrix}

,\ \cdots ,\ E_n = \begin{bmatrix} 

        1 & 0 & \cdots & 0 \\
        0 & 1 & \cdots & 0 \\
        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
        0 & 0 & \cdots & 1
     \end{bmatrix}

</math> Умножение на единичную матрицу оставляет матрицу неизменной:

AEn = EnA = A для любой n×n матрицы A.

Симметричные и антисимметричные матрицы

Квадратная матрица A, совпадающая со своей транспонированной, то есть A = AT, называется симметричной. Если же A отличается от транспонированной матрицы знаком, то есть A = −AT, то A называется антисимметричной (или кососимметричной)Шаблон:SfnШаблон:Sfn. В случае комплексных матриц понятие симметрии часто заменяют понятием самосопряжённости, а матрицу, удовлетворяющую равенству A∗ = A, называют эрмитовой (или самосопряжённой); здесь звёздочкой обозначена операция эрмитова сопряжения, смысл которой — в замене каждого элемента исходной матрицы комплексно сопряжённым числом с последующим транспонированием полученной матрицыШаблон:SfnШаблон:Sfn.

По спектральной теореме для вещественных симметричных матриц и комплексных эрмитовых матриц существуют базисы, состоящие из собственных векторов; таким образом, любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения вещественныШаблон:Sfn. Эту теорему можно распространить на бесконечномерный случай, когда матрицы имеют бесконечно много строк и столбцов.

Обратимые матрицы

Квадратная матрица A называется обратимой или невырожденной, если существует матрица B, такая, что

AB = BA = EШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Если матрица B существует, она единственна и называется обратной к A и записывается как A−1.

Определённая матрица

Положительно определённая Неопределённая
<math> \begin{bmatrix} 
        1/4 & 0 \\
        0 & 1/4 \\
    \end{bmatrix} </math>
<math> \begin{bmatrix} 
        1/4 & 0 \\
        0 & -1/4 
    \end{bmatrix} </math>
Q(x,y) = 1/4 x2 + 1/4y2 Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2
Файл:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg
Точки, удовлетворяющие уравнению Q(x,y) = 1
(Эллипс). 		Файл:Hyperbola2.png
Точки, удовлетворяющие уравнению Q(x,y) = 1
(Гипербола).

Симметричная n×n матрица называется положительно определённой (соответственно, отрицательно определённой или неопределённой), если для всех ненулевых векторов x ∈ Rn соответствующая квадратичная форма

Q(x) = xTAx

принимает только положительные значения (соответственно, отрицательные значения или и те, и другие). Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно, только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно полуопределённой (соответственно, отрицательно полуопределённой). Матрица будет неопределённой, если она ни положительно, ни отрицательно полуопределенаШаблон:Sfn.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительныШаблон:Sfn. Таблица справа показывает два возможных случая для матриц 2×2.

Если использовать два различных вектора, получим билинейную форму, связанную с A:

BA (x, y) = xTAyШаблон:Sfn.

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица — это квадратная матрица с вещественными элементами, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами (то есть ортонормальными). Можно также определить ортогональную матрицу как матрицу, обратная для которой равна транспонированнойШаблон:Sfn:

<math>A^\mathrm{T}=A^{-1},</math>

откуда вытекает

<math>A^T A = A A^T = E</math>,

где E — единичная матрица.

Ортогональная матрица A всегда обратима (A−1 = AT), унитарна (A−1 = A*), и нормальна (A*A = AA*). Определитель любой ортогональной матрицы равен либо +1, либо −1Шаблон:Sfn. Умножение на ортогональную матрицу задаёт такое линейное преобразование арифметического пространства <math>\mathbb{R}^n</math>, которое в случае матрицы с определителем +1 является простым поворотом, а в случае матрицы с определителем −1 является либо простым отражением, либо суперпозицией отражения и поворота.

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.

Операции

След

Следом квадратной матрицы A (tr(A)) называется сумма элементов главной диагонали. В то время как умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей:

tr(AB) = tr(BA).

Это непосредственно вытекает из определения произведения матриц:

<math>\scriptstyle\operatorname{tr}(\mathsf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \operatorname{tr}(\mathsf{BA}).</math>

Также след матрицы равен следу транспонированной к ней, то есть

tr(A) = tr(AT).

Определитель

Шаблон:Main

Файл:Determinant example.svg
Линейное отображение на R2, определённое приведённой матрицей. Определитель матрицы равен −1, и хотя площадь зелёного параллелограмма осталась 1, отображение сменило ориентацию, поскольку вектора находятся по движению часовой стрелки, а их образы находятся в обратном порядке.

Определитель det(A) или |A| квадратной матрицы A — это число, определяющее некоторые свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель ненулевой. Абсолютная величина определителя равна площади (в R2) или объёму (в R3) образа единичного квадрата (или куба), в то время как знак определителя соответствует ориентации соответствующего отображения — определитель положителен в том и только в том случае, когда ориентация сохраняется.

Определитель 2×2 матриц вычисляется по формуле

<math>\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.</math>

Определитель матриц 3×3 использует 6 произведений (правило Сарруса). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы на все размерностиШаблон:Sfn.

Определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей:

det(AB) = det(A) • det(B)Шаблон:Sfn.

Добавление любой строки с коэффициентом к другой строке, или любого столбца с коэффициентом к другому столбцу не изменяет определителя. Обмен местами двух строк или столбцов приводит к изменению знака определителяШаблон:Sfn. Используя эти операции, любую матрицу можно привести к нижней (или верхней) треугольной матрице, а для таких матриц определитель равен произведению элементов главной диагонали, что даёт способ вычисления определителя любой матрицы. Наконец, теорема Лапласа выражает определитель в терминах миноров, то есть определителей меньших матрицШаблон:Sfn. Эта теорема даёт возможность рекурсивного вычисления определителей (начав с определителя матрицы 1×1, или даже с определителя матрицы 0×0, который равен 1), что можно рассматривать как эквивалент формуле Лейбница. Определители можно использовать для решения линейных систем с помощью метода КрамераШаблон:Sfn.

Собственные значения и собственные вектора

Шаблон:Main Число λ и ненулевой вектор v, удовлетворяющие уравнению

Av = λv,

называются собственным значением и собственным вектором матрицы A соответственноШаблон:Sfn. Число λ является собственным числом n×n матрицы A в том и только в том случае, когда A−λE не имеет обратной, что эквивалентно

<math>\det(\mathsf{A}-\lambda \mathsf{E}) = 0.\ </math>Шаблон:Sfn

Многочлен pA от Шаблон:Не переведено 5 X, получаемый как определитель det(XE−A), называется характеристическим многочленом матрицы A. Это нормированный многочлен степени n. Таким образом, уравнение pA(λ) = 0 имеет максимум n различных решений, то есть собственных значений матрицыШаблон:Sfn. Эти значения могут быть комплексными, даже если все элементы матрицы A вещественны. Согласно теореме Гамильтона — Кэли, pA(A) = 0, то есть при подстановке самой матрицы в характеристический многочлен, получим нулевую матрицуШаблон:Sfn.

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Квадратная_матрица&oldid=10105383