Русская Википедия:Квадратура параболы
Квадратура параболы (Шаблон:Lang-el) — монография по геометрии, написанная Архимедом в III веке до н.э. и адресованная его александрийскому знакомому Досифею.
Работа содержит 24 утверждения относительно парабол, собранных в два доказательства. Они показывают, что площадь сегмента параболы (область между параболой и прямой) равна 4/3 определённого вписанного треугольника.
Это одна из наиболее известных работ Архимеда. Учёный сумел разбить площадь на бесконечное число треугольников, площади которых образуют геометрическую прогрессиюШаблон:Sfn. Затем он вычислил сумму получившегося геометрического ряда и доказал, что она является площадью параболического сегмента.
Это доказательство является примером использования апагогии у математиков древней Греции, и решение Архимеда оставалось непревзойдённым вплоть до развития интегрирования в XVII веке, когда было заменено квадратурной формулой Кавальери[1].
Основная теорема
Чтобы найти площадь параболического сегмента, Архимед рассматривает определённый вписанный треугольник. Основанием этого треугольника является заданная хорда параболы, а третьей вершиной служит такая точка параболы, что касательная к параболе в этой точке параллельна хорде. Лемма 1-ой работы утверждает, что прямая из третьей вершины, параллельная оси, делит хорду на два равных отрезка. Основная теорема гласит, что площадь параболического сегмента равна 4/3 вписанного треугольника.
Структура текста
Конические сечения, такие как парабола, были хорошо известны уже во времена Архимеда благодаря работам Менехма за век до этого. Однако до прихода дифференцирования и интегрирования не было простых средств нахождения площади конических сечений. Архимед дал первое проверенное решение этой проблемы, сфокусировавшись на площади, ограниченной параболой и хордойШаблон:Sfn.
Архимед дал два доказательства основной теоремы — одно доказательство использует абстрактную механику, а другое составлено на основе чистой геометрии. В первом доказательстве Архимед рассматривает рычаг на сегменты параболы и треугольника в состоянии равновесия под действием гравитации, действующей на плечи рычага на определённом расстоянии от точки опорыШаблон:R. Если центр тяжести треугольника известен, равновесие рычага даёт площадь параболы в терминах площади треугольника с тем же основанием и высотойШаблон:R. Архимед здесь отклоняется от процедуры, находящейся в трактате Шаблон:Нп5 в том, что он имеет центры тяжести на уровне ниже балансаШаблон:R. Второе и более известное доказательство использует только геометрию, в частности, сумму геометрического ряда.
Из двадцати четырёх утверждений первые три приведены без доказательства и ссылаются на работу Евклида «Конические элементы» (утерянная работа Евклида по коническим сечениям). Утверждения 4 и 5 устанавливают элементарные свойства параболы. Утверждения 6-17 дают доказательство основной теоремы на основе механики. Утверждения 18-24 предоставляют геометрическое доказательство.
Геометрическое доказательство
Разбиение параболического сегмента
Основная идея доказательства — разбиение параболического сегмента на бесконечное число треугольников, как показано на рисунке справа. Каждый из этих треугольников вписан в свой сегмент тем же способом, что и синий треугольник.
Площади треугольников
В утверждениях 18-21 Архимед доказывает, что площадь каждого зелёного треугольника равна одной восьмой площади синего треугольника. С современной точки зрения, это следствие того, что ширина зелёного треугольника равна половине ширины синего, а высота в четыре раза меньшеШаблон:R:
По тому же принципу, площадь каждого жёлтого треугольника равна одной восьмой зелёного, площадь каждого из красных треугольников равна одной восьмой площади жёлтого треугольника и так далее. Используя метод исчерпывания, получаем, что общая площадь параболического сегмента задаётся выражением:
- <math>\text{Area}\;=\;T \,+\, 2\left(\frac{T}{8}\right) \,+\, 4\left(\frac{T}{8^2}\right) \,+\, 8 \left(\frac{T}{8^3}\right) \,+\, \cdots.</math>
Здесь T представляет площадь большого синего треугольника, второй член представляет общую площадь двух зелёных треугольников, третий член представляет суммарную площадь четырёх жёлтых треугольников, и так далее. Это выражение можно упростить до
- <math>\text{Area}\;=\;\left(1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots\right)T.</math>
Сумма ряда
Чтобы завершить доказательство, Архимед показал, что
- <math>1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots\;=\; \frac{4}{3}.</math>
Формула выше является геометрическим рядом — каждый последующий член которого вчетверо меньше предыдущего. В современной математике эта формула является частным случаем формулы суммирования геометрического ряда.
Архимед вычислил сумму геометрическим методомШаблон:R, проиллюстрированным на рисунке. Рисунок показывает единичный квадрат, который разбивается на бесконечное число меньших квадратов. Каждый последующий фиолетовый квадрат имеет площадь вчетверо меньше площади предыдущего квадрата, а полная сумма площадей фиолетовых квадратов равна сумме
- <math>\frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots \frac{1}{4^n}.</math>
Однако фиолетовые квадраты равны каждому из наборов жёлтых квадратов, а потому покрывают 1/3 площади единичного квадрата. Отсюда следует, что ряд, приведённый выше, сходится к 4/3 (поскольку 1+1/3 = 4/3).
См. также
Примечания
Литература
Литература для дальнейшего чтения
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
Ссылки
- Шаблон:Cite web Full text, as translated by T.L. Heath.
- Шаблон:Cite web Text of propositions 1-3 and 20-24, with commentary.
- http://planetmath.org/ArchimedesCalculus Шаблон:Wayback
Шаблон:Математика в Древней Греции Шаблон:Rq
